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Nadine (volkert)
Junior Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 09:33: | 
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Ich weiß nicht genau wie ich die Antworten zu den folgenden Fragen präzise ausdrücken kann. Wer kann mir helfen?
1)Welche anschauliche, physikalische Bedeutung hat der Begriff "Brennpunkt" bei der Parabel?
2) Welche Bedeutung hat der Begriff "Brennpunkt" bei der Ellipse und der Hyperbel?
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 205
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 12:29: |
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1)
Satelliten-Antennen und Scheinwerfer-Reflektoren haben die Form, die sich ergibt, wenn eine Parabel um ihre Symmetrie-Achse rotiert. Beim Scheinwerfer gehört die Lampe in den Brennpunkt, wenn das Licht gebündelt sein soll. Bei der Satelliten-Antenne kommt das Signal mit näherungsweise parallelen Strahlen und wird in den Brennpunkt reflektiert. Dort sitzt der erste Empfangsverstärker.
2)
Für jeden Punkt auf einer Ellipse ist die Summe der Entfernungen von den beiden Brennpunkten gleich.
Die Bahnen von Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Hyperbeln kommen auch als Bahnen vor, z. B. bei der Forschungssonde, die zur Zeit unser Sonnensystem verlässt. Da gibt es keine geschlossene Umlaufbahn und im Brennpunkt der Hyperbel steht der für das Schwerefeld verantwortliche Planet oder Stern.
www.georgsimon.de
(Beitrag nachträglich am 05., August. 2003 von Georg editiert) |
Nadine (volkert)
Junior Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 14:03: |
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Danke für deine Hilfe. Ich habe diesbezüglich aber noch eine weitere Frage. Ich weiß, dass beispielsweise bei einer Ellipse die numerische Exzentrizität e(lineare Exzentrizität)/a (strecke der großen Halbachse) ist. In weiteren Büchern war von einem Parameter die Rede der definiert wurde als b^2/a. Für was ist dieser Parameter gut und was sagt er aus? Weißt du das? |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 213
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 15:37: |
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Nein, weiß ich nicht. Aber in meiner Formelsammlung steht, dass der Parameter p=b²/a auch der Radius eines Scheitelkrümmungskreises ist, und, dass man eine Ellipse mit dem linken Scheitel im Ursprung folgendermaßen schreiben kann : y² = 2px - p/a*x² |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2376
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 19:45: |
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Hi Nadine
Frage:
Wieso gilt für den Parameter p eines
Mittelpunktkegelschnitts (Ellipse und Hyperbel)
p = b^2 / a ?
Welches ist die geometrische Bedeutung des Parameters p ?
Ich habe zwei Methoden präsent, mit denen ich
Das Rätsel lösen kann!
1.Methode.
Wir gehen aus von der Scheitelgleichung für
alle Kegelschnitte:
y ^ 2 = 2 p x – f * x^2 mit f = 1 – (epsilon)^2
NB : numerische Exzentrizität epsilon;
epsilon >1 für Hyperbeln, epsilon = 1: für Parabeln,
0 < epsilon < 1 für Ellipsen, epsilon = 0: Kreis.
Für x = 2 a gilt y = 0, also
0 = 4 p a – f * 4 a^2; ein Faktor a (nicht null) hebt sich weg;
wir erhalten:
a = p / f……………………………………………………………………(1)
Für x = a ist y = b, also
b ^ 2 = 2 p a – f * a^2,
wir ersetzen darin a durch p / f und erhalten:
b^2 = p / f *[2 p – p] = p^2 / f,
also
b^2 = p^2 / f ……………………………………………………………..(2)
Nun dividieren wir die Gleichung (2) durch die Gleichung (1);
dabei fällt f weg und die Relation p = b^2 / a ist nachgewiesen.
Fortsetzungen folgen !*
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2377
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 19:51: |
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Hi Nadine,
Erste Fortsetzung
2.Methode
Beachte:: Fällt die Hauptachse eines Kegelschnitts, welche
die Brennpunkte enthält, mit der x-Achse zusammen, so stimmt
der Parameter p mit dem y-Wert desjenigen Punktes auf dem
Kegelschnitt überein, der denselben x-Wert wie der Brennpunkt
hat.
Damit hast Du eine geometrische Bedeutung des Parameters p,
gültig für sämtliche Kegelschnitte.
Wir gehen aus von den Mittelpunktsgleichungen der Kegelschnitte.
Die beiden Fälle Ellipse und Hyperbel müssen getrennt
behandelt werden.
1.Fall: die Ellipse
b^2 * e ^2 + a ^2 * p ^2 = a ^2 * b^ 2 ; nun gilt bei der Ellipse
e^2 = a^2 – b^2; setzt man dies ein, so erhält man sofort:
p^2 = b^4 / a^2, also p = b^2 / a
.
2.Fall: die Hyperbel
Gleichung
b^2 *x ^2 - a ^2 * y ^2 = a ^2 * b^ 2
Setze x = e (lineare Exzentrizität; x-Wert eines Brennpunktes);
der zugehörige y-Wert ist p, also:
b^2 * e ^2 - a ^2 * p ^2 = a ^2 * b^ 2 ; nun gilt bei der Hyperbel
e^2 = a^2 + b^2; setzt man dies ein, so erhält man sofort:
p^2 = b^4 / a^2, also p = b^2 / a.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2378
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 19:57: |
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Hi Nadine
Zweite Fortsetzung und Schluss
Bei der Beantwortung Deine Frage habe ich Dir eine geometrische
Deutung des Parameters eines Kegelschnitts gegeben als Quermass
gewissermassen, als halbe Breite des Kegelschnitts beim Brennpunkt.
Es gibt noch eine andere, reizvolle Einkleidung für p,
die ich Dir nicht vorenthalten möchte.
:
Der Parameter p aller Kegelschnitte (die Parabel inbegriffen) erscheint
als Radius des Krümmungskreises in einem Hauptscheitel des
Kegelschnitts.
Wenn es Dich interessiert, leite ich Dir diese Aussage
in wenigen Zeilen her.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Nadine (volkert)
Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 10:18: |
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Danke für deine Hilfe. Dein Angebot die letzte Aussage noch einmal herzuleiten nehme ich gerne an. Würde mich auf jeden Fall interessieren.
Gruß Nadine |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2381
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 11:22: |
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Hi Nadine,
Gerne leite ich Dir die Aussage über den Krümmungsradius im Hauptscheitel
eines KS her. Diese Herleitung ist von der Methode her lehrreich und
besonders auch deswegen interessant, weil sie ohne Differentialrechnung
zum Ziel führt
Sie funktioniert so:
Wir schneiden den allgemeinen Kegelschnitt (KS)
y^2 = 2 p x – q x^2
[Scheitelgleichung aller Kegelschnitte, q = 1 – (epsilon)^2 ]
mit dem Kreis y ^2 = r^2 – (x - r) ^ 2; Mittelpunkt (r/0),Radius r.
Beide Kurven berühren sich im Nullpunkt O,
der zugleich Scheitel des KS ist.
Dies bedeutet bereits, dass zwei Schnittpunkte der Kurven
in O vereinigt sind.
Für eine besonders innige Berührung (Oskulation),wie sie
beim Scheitelkrümmungskreis vorliegt, fordern wir,
dass alle vier Schnittpunkte der beiden Kurven in O vereinigt
sind.
Rechnerische Durchführung:
Gleichsetzen der y^2-Werte: 2 p x – q x^2 = r^2 – (x - r) ^ 2
Faktorzerlegung beider Seiten: x* (2 p – q x ) = x* ( 2 r – x )
Wegheben eines Faktors x: 2 p – q x = 2 r – x
Was ist x ? es ist der x-Wert der Schnittpunkte Nr.3 und Nr. 4.
Hihi !*
Alle Punkte in O vereinigen bedeutet, diesen x-Wert null setzen;
r wird dann zum Krümmungsradius im Hauptscheitel O des KS.
Tun wir es; es kommt:
2 p = 2 r , also:
r = p , wie ich vorausgesagt habe !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2383
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 12:00: |
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Hi Nadine,
Eine Gewissensfrage:
Kennst Du die geometrische Bedeutung der numerischen
Exzentrizität epsilon, von der mehrmals die Rede war,
bei einem real existierenden Kegelschnitt, d.h. bei einem
Rotationskegel mit vorgegebener Schnittebene E,
welche den besagten Kegelschnitt erzeugt?
Wenn nicht, präsentiere ich Dir die Antwort.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Nadine (volkert)
Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 09:19: |
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Danke!
Auf deine Gewissensfrage hin: Ja ich kenne die Bedeutung der numerischen Exzentrizität
Gruß Nadine |
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