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Nadine (volkert)
Neues Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 10:17: | 
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Hilfe kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe weiterhelfen?
Es bezeichne Z die Menge der ganzen Zahlen. Dann betrachten wir die Restklassen modulo 5; Diese bezeichnen wir mit Z5. Auf Z5 lässt sich eine Addition + und eine Multiplikation * einführen.
a) Zeigen Sie : (Z5, +) und (Z5, *) sind abelische (Kommuntative ) Gruppen.
b) Lösen sie in (Z5,+) das Gleichungssystem 1x+3y =3
3x+2y=3 ( über den Zahlen 1, 2 und 3 steht jeweils ein Strich)
c) Analog bezeichne Z6 die Menge aller Restklassen modulo 6. Zeigen Sie : In Z6 gilt 1*2=4*2 aber es gilt nicht : 1=4. Begründen sie dies. Wann darf man in Zm kürzen? ( Über den Zahlen 1, 2,4 steht ebenfalls jeweils ein Strich)
Vielen Dank
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 630
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 00:23: |
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Hi,
hier ist es sinnvoll, eine Verknüpfungstabelle solcherart zu erstellen, indem man die Zahlen 0 1 2 3 4, die ja die einzelnen Restklassen mod 5 repräsentieren, einmal oben (waagrecht) und einmal links (senkrecht) anschreibt (o ist das Verknüpfungszeichen):
o | 0 1 2 3 4
-------------
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Prinzip der Tafel:
o | b
-------
a |aob
In den Schnittpunkten der jeweiligen Zeile und Spalte wird das Ergebnis der Verknüpfung (Zeilenelement o Spaltenelement) eingetragen.
Das Aussehen der Tabelle kann bereits über bestimmte Gruppeneigenschaften Aufschluss geben:
Wenn nur die Elemente der gegebene Menge vorkommen, ist die Menge gegenüber der Verknüpfung abgeschlossen.
Symmetrie zur Hauptdiagonale zeigt die Kommutativität (Abel'sche Gruppe).
In jener Zeile oder Spalte, in der die Elemente in derselben Reihenfolge erscheinen, steht das neutrale Element.
Wenn das neutrale Element in jeder Zeile oder Spalte genau ein Mal jeweils an anderer Stelle erscheint, existiert zu jedem Element das inverse.
(Z5, +)
+ | 0 1 2 3 4
-------------
0 | 0 1 2 3 4
1 | 1 2 3 4 0
2 | 2 3 4 0 1
3 | 3 4 0 1 2
4 | 4 0 1 2 3
Es existieren:
1. Assoziativität
2. Neutrales Element 0
3. Zu jedem Element das inverse Element
4. Kommutativität
Das sind die Bedingungen für eine Abel'sche Gruppe
Desgleichen
(Z5, *)
* | 0 1 2 3 4
-------------
0 | 0 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3 4
2 | 0 2 4 1 3
3 | 0 3 1 4 2
4 | 0 4 3 2 1
Es existieren:
1. Assoziativität
2. Neutrales Element 1
3. Zu jedem Element ausser 0 das inverse Element
4. Kommutativität
Da es zu 0 kein inverses Element gibt, ist (Z5,*) allerdings keine Gruppe, sondern ein Monoid (Halbgruppe mit neutralem Element)
sh. dazu auch
http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/gr undlagen/gruppe.htm#section2
Erst wenn man die Menge Z5 zugleich mit den zwei Verknüpfungen +, * als (Z5;+,*) betrachtet, ist ersichtlich, dass zunächst ein Ring (mit Einselement) vorliegt und in weiterer Folge sogar ein Körper. Denn hier ist (Z5 {0},*,1) eine Abel'sche Gruppe und es gelten die weiteren Axiome.
http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/gr undlagen/ring.htm
Das System in (Z5;+,*)
x + 3*y = 3
3*x + 2*y = 3
--------------
ist nur dann sinnvoll aufzulösen, wenn beide Verküpfungen +, * definiert sind, denn 3x oder 2y impliziert, dass in Wirklichkeit mit 3*x bzw. 2*y gerechnet werden muss.
Wir lösen das System wie gewohnt, allerdings verwenden wir statt der "normalen" Addition bzw. Multiplikation eben die Restaddition bzw. Restmultiplikation!
Addition beider Gleichungen ergibt:
4*x + 0*y = 1
4*x = 1 |Mult. mit dem inversen Element 4
4*4*x = 1*4
1*x = 4
x = 4
Aus der Verknüpfungstabelle für Z5,* (deswegen muss eben auch die zweite Verknüpfung definiert sein!) kann ebenfalls direkt entnommen werden:
x = 4
dies in die erste Gleichung einsetzen:
4 + 3*y = 3 | -4
3*y = 4 |*2
2*3*y = 4*2
1*y = 3
y = 3
L = {(4;3)}
==========
Z6:
1*2 = 2
4*2 = (8) = 2 mod 6
In 1*2 = 4*2
darf nicht durch 2 gekürzt werden, da 2 (ebenso wie 3) sogenannte "Nullteiler" (von 6) sind:
2*3 = (6) = 0 !!
Alle Nullteiler und auch die daraus verknüpften Elemente besitzen kein inverses Element (aus einer Gruppentafel für (Z6,*) ist dies unmittelbar ersichtlich)!
Das Kürzen (= Dividieren) entspricht aber der Multiplikation mit dem inversen Element.
In Zm kann somit nur dann gekürzt werden, wenn der Kürzungsfaktor keinen Teiler von m enthält.
In Z6 ist dies daher nur durch 1 oder 5 möglich.
Gr
mYthos
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Nadine (volkert)
Neues Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 10:46: |
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Vielen Dank! Ich habe bezüglich des Aufgabenteiles a) noch eine Frage
Wie kann man die Assoziativität und die Kommutativität in Z5*+ mathematisch beweisen? Aus der Verknüpfungstabelle sind für mich die neutralen Elemente, sowie die inversen Elemente jeweils ersichtlich. Das inverse Element könnte ich ja auch dadurch begründen, dass der ggt von 5 zu den einzelnen Restklassen mod 5 immer 1 ist ?! Bezüglich der Asssoziativität und der Kommutatvität scheint mir die Verknüpfungstabelle nicht ausreichend genug zu sein? oder doch? |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 631
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 12:36: |
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Die Kommutativität ist ebenfalls aus der Tabelle ersichtlich, denn wenn du Zeilen mit Spalten vertauscht, ändert sich an der Tabelle nichts; alle Zeilen erscheinen auch als Spalten wieder. Du kannst z.B die dritte Zeile 2 3 4 0 1 in (Z5;+) als dritte Spalte in genau derselben Reihenfoge wieder erkennen.
Auch mit Rechnung folgt unnmittelbar a o b = b o a
(o ist das Verknüpfungszeichen)
Die Assoziativität muss an Hand einer oder mehrerer Probe-Rechnungen nachgewiesen werden:
(Z5; +)
(2 + 4) + 3 = 1 + 3 = 4
2 + (4 + 3) = 2 + 2 = 4
(4 + 4) + 3 = 3 + 3 = 1
4 + (4 + 3) = 4 + 2 = 1
....
Die Existenz der inversen Elemente in Zm hängt tatsächlich davon ab, ob m und die Repräsentanten der einzelnen Restklassen Z_0 bis Z_(m-1) jeweils teilerfremd sind oder nicht.
Und bezüglich zu einer Verknüpfung gibt es jeweils nur EIN neutrales Element (nicht neutrale Elemente). Bei + mod(5) heisst es 0 (Nullelement), bei * mod(5) lautet es 1 (Einselement).
Gr
mYthos
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Nadine (volkert)
Neues Mitglied
Benutzername: volkert
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 12:41: |
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Danke für deine Hilfe,
weisst du vielleicht wo ich Übungsaufgaben zu diesem Thema, möglichst mit Lösungen finden kann? |
elin (hulio)
Neues Mitglied
Benutzername: hulio
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 16:24: |
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hallo nadine
bereitest du dich zufällig auf die staatsexamen vor,zufällig in Frankfurt?? |
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