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Sarah Ackermann (tab)
Neues Mitglied
Benutzername: tab
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 10:25: | 
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34. Aufgabe
Beweisen oder widerlegen Sie für reelle Zahlen > 0:
a) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
b) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist irrational.
c) Das Produkt zweier verschiedener irrationaler Zahlen ist irrational.
35. Aufgabe
a) Gibt es rationale Zahlen x y > 0 mit: 2^x =10 oder 2^x = 1o^y ?
36. Aufgabe
Setzen Sie die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten voraus und beweisen Sie dann ihre
Gültigkeit für rationale Exponenten > 0 (unter Benutzung der Rechenregeln für Wurzeln). |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1278
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 10:48: |
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weiter Hilfe nötig
34a)
stimmt, denn wäre es rational,
also (r1,r2: rational, nr: irrational)
r1 + nr = r2 <==> nr = r1 - r2
aber rational - rational ist ( wohl nicht Beweispflichtig? ) rational
also ein Widerspruch.
b) falsch,
subtrahiere von einer Rationalen ( endlicher Bruch ) eine Irrationale ( "unendlicher Bruch" );
kann nur einen "unendlichen Bruch", also eine Irrationale ergeben,
also
r - nr1 = nr2 <==> nr2 + nr1 = r
34c) falsch. Produkt von nr*(r/nr) = r
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1331
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 11:50: |
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Hi Sarah
Zu 35a)
Angenommen es gäbe eine rationale Zahl x mit
x=p/q, wobei p und q ganze Zahlen sind und teilerfremd.
Dann folgt:
2x=10
<=> 2p/q=10
<=> 2p=10q
p und q seien o.B.d.A beide positiv(wären sie beide negativ könnte man das "-" Zeichen wegkürzen, andere Fälle brauchen wir nicht zu betrachten, weil x>0 gilt):
Zweier-Potenzen enden immer mit einer der Ziffern 2,4,6,8 aber nie mit einer 0 wie Zehnerpotenzen.
Also existieren keine ganzzahligen p und q und damit kein rationales x, dass die obige Gleichung erfüllt.
Das zweite Beispiel läßt sich hierauf zurückführen.
Setzen wir wieder x:=p/q und y:=r/s, wobei p,q,r und s ganzzahlig sein sollen.
Dann können wir wieder umformen
2x=10y
<=> 2ps=10rq
Mit gleicher Argumentation wie oben folgt, dass x und y nicht beide rational sein können.
Soweit erstmal.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1335
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Juli, 2003 - 14:23: |
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Hi Sarah
Könntest du mir mal die Rechenregeln für Wurzeln aufschreiben, die ihr hattet??
MfG
C. Schmidt |
Sarah Ackermann (tab)
Junior Mitglied
Benutzername: tab
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juli, 2003 - 12:46: |
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Hallo Christian!
Hier die Rewchengesetze:
n-te Wurzel aus a mal die n-te Wurzel aus b ist gleich die n-te Wurzel aus a mal b
n-te Wurzel aus a durch b ist gleich die n-te Wurzel aus a durch die n-te Wurzel aus b |
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