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LF XXII :Rotationsfläche berechnen mi...

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2134
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 16:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Hier kommt sie, die Nummer XXII der lockeren Folge:

Das in der Aufgabe XXI der LF behandelte Parabelsegment,
dessen Bogen in Polarkoordinaten die Gleichung
r = a / [cos (½ phi)]^2; a>0 hat,
rotiert um die x-Achse.
Man berechne die Fläche, welche vom Bogen AY
erzeugt wird.
A(a/0) ist der Scheitel, Y(0/2a) ein Schnittpunkt der
Parabel mit der y-Achse.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 767
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 17:46:   Beitrag drucken

Hi,

versteht man hier unter "Fläche" die Oberfläche, also den Mantel des Rotationskörpers?

Ich habe hierzu in meinen Unterlagen nur eine Formel gefunden:
Mantel = 2p*òx1 x2 y*Ö(1+y'²)

Mit dieser Formel hätte ich dann als Lösung anzubieten:

F=[8 * a² * p * (Ö8 - 1)]/3

Ungefähr F ~ 15,3178 * a²

Ansonsten hab ich die Frage falsch verstanden! Wie lautet die Formel für die Oberfläche in Polarkoordinaten? Ich hab sie nirgends stehen!

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2135
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 19:08:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Dein Resultat ist richtig;
numerischer Wert der Mantelfläche: ~15,31779526

Bald kommt LF XXIII

MfG
H.R.Moser,megamath

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Niels (niels2)
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Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 728
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

ich hätte die Aufgabe genauso interpretiert wie du. Ich denke auch das die Mantelfläche gemeint ist.
Allerdings solltest du Oberfläche und Mantelfäche sehr genau trennen!!!
Bei dir hört sich das an also ob Oberflläche und Mantelfläche das gleiche wären!

Wenn du interesse daran hast können wir ja mal eine Formel entwickeln, die die Mantelfläche einer Funktion in Polarkoordinaten beschreibt.
Ich habe auch schon gewisse Vorstellungen wie die Formel herzuleiten ist und wie sie aussehen müsste.

Wollen wir es versuchen?
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 768
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 20:25:   Beitrag drucken

Hi Niels,

gerne würde ich so eine Formel in meine Sammlung aufnehmen. Lass uns das Unternehmen morgen starten, da ich jetzt zum Schützenfest im Nachbardorf fahre!

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2138
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 08:00:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Ich nehme an, dass bei einem veritablen Schützenfest auch
gezielt und getroffen wird, wie bei uns in der Schweiz seit
Tells Zeiten.
Nun meine Frage:
Da das Schützenfest in Deinem Nachbardorf nächtens stattgefunden
hat, nehme ich an, dass Nachtsichtgeräte im Einsatz waren.
Ist das so?
Kann man auch etwas über die Trefferquoten erfahren.

Ein Ratschlag:
Lasst Euch mit der Formel für die Mantelfläche eines
Rotationskörpers, dessen Meridian in Polarkoordinaten-
Darstellung vorliegt, nicht in geistige Unkosten ein!!
Ich sende noch heute eine Formel samt Herleitung.
Diese beanspruchen nur ein paar Zeilen.
Im gleichen Zug werde ich die Aufgabe LF XXII
ausführlich lösen.
Könntest Du dasselbe tun mit LF XX ?
Zweck des Unternehmens: es sollten möglichst viele Leser
von den LF-Aufgaben profitieren.
Erfahrungsgemäss haben viele Studenten mit der
Polarkoordinatendarstellung ihre liebe Mühe.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 770
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 12:33:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe mein Weg bei LFXX ins Netz gestellt! Mal sehen was du uns gleich lieferst!

Also zum Schützenfest:
Also mit Tell möchte ich mich nicht vergleichen, aber eine Rose habe ich geschossen und sie einer netten Dame geschenkt ! Es war auch noch hell genug, so dass auf den Gebrauch von Nachtsichtgeräten verzichtet werden konnte, wir machen das ja auch alles nur zum Spass. Wir sind ja (noch) nicht beim Bund *gg*!

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2141
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 14:35:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es erscheint die Lösung der Aufgabe LF XXII

Vorbereitung
Herleitung einer Formel zur Berechnung der
Mantelfläche MM eines Rotationskörpers,
von dem die Polarkoordinatengleichung r = r(phi)
einer erzeugenden Kurve, d.h. eines Meridians
gegeben ist.
Dabei erzeugt der Kurvenbogen AB die zu
berechnende Fläche MM bei der Rotation um die
Polarachse, d.h. um die x-Achse.

Wir gegen aus von der entsprechenden Formel
für rechtwinklige Koordinaten, die allgemein
bekannt sein dürfte.

MM = 2Pi * int [y ds ];
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
ds ist das Bogenelement.
Die Grenzen des bestimmten Integrals ergeben
sich ad hoc aus der gegebene Situation.

Ei des Kolumbus:
Wir setzen y = r sin(phi) und
ds = sqrt [r^2 + r´^2 ]* d(phi)
mit r´= dr/d(phi)

Für die (obere) Schleife aus Beispiel LF XXII
r = a [sin(phi) ]^2 gilt der Reihe nach:

r^2+r´^2 = a^2* [sin(phi) ]^2 * {1 + 3[cos(phi)]^2}
L = 2*a*int [sin(phi)*sqrt{1 + 3[cos(phi)]^2}]d(phi),
untere Grenze 0,obere Grenze ½ Pi.

Jetzt kommt die Hauptsache:
Wir ziehen uns aus der Schlinge mittels der Substitution
sqrt(3)* cos(phi)= sinh (psi)
Rechts steht der sinus hyperbolicus !*
Wir brauchen dann nur noch eine Stammfunktion zu
f(psi) = [cosh(psi]^2;
da helfen Formelsammlungen weiter,
und wir erhalten in kurzer Zeit das angegebene
Schlussresultat:
L = a/sqrt(3) * [ ln{sqrt(3) + 2} +2*sqrt(3)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath

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