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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2134 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 16:13: |
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Hi allerseits, Hier kommt sie, die Nummer XXII der lockeren Folge: Das in der Aufgabe XXI der LF behandelte Parabelsegment, dessen Bogen in Polarkoordinaten die Gleichung r = a / [cos (½ phi)]^2; a>0 hat, rotiert um die x-Achse. Man berechne die Fläche, welche vom Bogen AY erzeugt wird. A(a/0) ist der Scheitel, Y(0/2a) ein Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 767 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 17:46: |
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Hi, versteht man hier unter "Fläche" die Oberfläche, also den Mantel des Rotationskörpers? Ich habe hierzu in meinen Unterlagen nur eine Formel gefunden: Mantel = 2p*òx1 x2 y*Ö(1+y'²) Mit dieser Formel hätte ich dann als Lösung anzubieten: F=[8 * a² * p * (Ö8 - 1)]/3 Ungefähr F ~ 15,3178 * a² Ansonsten hab ich die Frage falsch verstanden! Wie lautet die Formel für die Oberfläche in Polarkoordinaten? Ich hab sie nirgends stehen! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2135 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 19:08: |
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Hi Ferdi, Dein Resultat ist richtig; numerischer Wert der Mantelfläche: ~15,31779526 Bald kommt LF XXIII MfG H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 728 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 19:10: |
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Hi Ferdi, ich hätte die Aufgabe genauso interpretiert wie du. Ich denke auch das die Mantelfläche gemeint ist. Allerdings solltest du Oberfläche und Mantelfäche sehr genau trennen!!! Bei dir hört sich das an also ob Oberflläche und Mantelfläche das gleiche wären! Wenn du interesse daran hast können wir ja mal eine Formel entwickeln, die die Mantelfläche einer Funktion in Polarkoordinaten beschreibt. Ich habe auch schon gewisse Vorstellungen wie die Formel herzuleiten ist und wie sie aussehen müsste. Wollen wir es versuchen? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 768 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Juni, 2003 - 20:25: |
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Hi Niels, gerne würde ich so eine Formel in meine Sammlung aufnehmen. Lass uns das Unternehmen morgen starten, da ich jetzt zum Schützenfest im Nachbardorf fahre! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2138 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 08:00: |
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Hi Ferdi, Ich nehme an, dass bei einem veritablen Schützenfest auch gezielt und getroffen wird, wie bei uns in der Schweiz seit Tells Zeiten. Nun meine Frage: Da das Schützenfest in Deinem Nachbardorf nächtens stattgefunden hat, nehme ich an, dass Nachtsichtgeräte im Einsatz waren. Ist das so? Kann man auch etwas über die Trefferquoten erfahren. Ein Ratschlag: Lasst Euch mit der Formel für die Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Meridian in Polarkoordinaten- Darstellung vorliegt, nicht in geistige Unkosten ein!! Ich sende noch heute eine Formel samt Herleitung. Diese beanspruchen nur ein paar Zeilen. Im gleichen Zug werde ich die Aufgabe LF XXII ausführlich lösen. Könntest Du dasselbe tun mit LF XX ? Zweck des Unternehmens: es sollten möglichst viele Leser von den LF-Aufgaben profitieren. Erfahrungsgemäss haben viele Studenten mit der Polarkoordinatendarstellung ihre liebe Mühe. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 770 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 12:33: |
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Hi megamath, ich habe mein Weg bei LFXX ins Netz gestellt! Mal sehen was du uns gleich lieferst! Also zum Schützenfest: Also mit Tell möchte ich mich nicht vergleichen, aber eine Rose habe ich geschossen und sie einer netten Dame geschenkt ! Es war auch noch hell genug, so dass auf den Gebrauch von Nachtsichtgeräten verzichtet werden konnte, wir machen das ja auch alles nur zum Spass. Wir sind ja (noch) nicht beim Bund *gg*! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2141 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 14:35: |
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Hi allerseits Es erscheint die Lösung der Aufgabe LF XXII Vorbereitung Herleitung einer Formel zur Berechnung der Mantelfläche MM eines Rotationskörpers, von dem die Polarkoordinatengleichung r = r(phi) einer erzeugenden Kurve, d.h. eines Meridians gegeben ist. Dabei erzeugt der Kurvenbogen AB die zu berechnende Fläche MM bei der Rotation um die Polarachse, d.h. um die x-Achse. Wir gegen aus von der entsprechenden Formel für rechtwinklige Koordinaten, die allgemein bekannt sein dürfte. MM = 2Pi * int [y ds ]; °°°°°°°°°°°°°°°°°°° ds ist das Bogenelement. Die Grenzen des bestimmten Integrals ergeben sich ad hoc aus der gegebene Situation. Ei des Kolumbus: Wir setzen y = r sin(phi) und ds = sqrt [r^2 + r´^2 ]* d(phi) mit r´= dr/d(phi) Für die (obere) Schleife aus Beispiel LF XXII r = a [sin(phi) ]^2 gilt der Reihe nach: r^2+r´^2 = a^2* [sin(phi) ]^2 * {1 + 3[cos(phi)]^2} L = 2*a*int [sin(phi)*sqrt{1 + 3[cos(phi)]^2}]d(phi), untere Grenze 0,obere Grenze ½ Pi. Jetzt kommt die Hauptsache: Wir ziehen uns aus der Schlinge mittels der Substitution sqrt(3)* cos(phi)= sinh (psi) Rechts steht der sinus hyperbolicus !* Wir brauchen dann nur noch eine Stammfunktion zu f(psi) = [cosh(psi]^2; da helfen Formelsammlungen weiter, und wir erhalten in kurzer Zeit das angegebene Schlussresultat: L = a/sqrt(3) * [ ln{sqrt(3) + 2} +2*sqrt(3)] °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath
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