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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2116 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 16:13: |
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Hi allerseits Hier kommt sie, die Nummer XVII der lockeren Folge, nochmals aus der Analysis. Von den Kreislinien x^2 + y^2 = a^2 und x^2 + y^2 = a x (a>0) betrachten wir diejenigen Teile, die ganz im ersten Quadranten liegen. Diese Bögen, ein Viertels- und ein Halbkreis, begrenzen ein schnabelförmiges Gebiet, engl. beak (Raubvogelschnabel). Man ermittle die Koordinaten des Schwerpunktes S von G und die Volumina V1, V2 der Körper, die entstehen, wenn G um die x-Achse bzw. um die y-Achse rotiert. Viel Erfolg !
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 746 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 17:23: |
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Hi, meine Vermutung für das Rotationsvolumen um die x-Achse: V(Gx)=(a³*p)/2 mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2117 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 19:10: |
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Hi Ferdi, Deine Vermutung trifft ins Schwarze ! MfG H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 748 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 11:40: |
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Hallo allerseits, ich glaube nun den Rest auch berechnet zu haben! Flächenschwerpunkt mit den Koordinaten: x = a*(16-3p)/(6p) y = 2a/p Rotataionsvolumen um die y-Achse demnach: Vy=[a³*p*(16-3p)]/24 mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2120 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 20:00: |
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Hi Ferdi, yS stimmt; für xS bekomme ich: xS = 13 a / (6*Pi) , an der 13 im Zähler halte ich fest wie eine Klette. Die bringt Glück, mindestens das Volumen V2 = 13 / 24 * Pi a^3. Bitte nachrechnen ( Verwende an geeigneter Stelle ein Torusvolumen !) MfG H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 753 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 21:00: |
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Hi megamath, ich halte aber auch (noch) an meinen Ergebnissen fest, hier meine Rechnung: Ich habe xS aus der Guldinschen Regel berechnet, wonach Vy=2*p*xS*F , wobei F der Flächeninhalt ist. Also fehlt uns noch Vy und F. F ergibt sich als Differenz des Viertel(Vk)- und des Halbkreises(Hk): F(Vk)=(p*a²)/4 F(Hk)=(p*a²)/8 Also F=(p*a²)/8 Nun Vy. Hier habe ich überlegt: das Volumen ergibt sich als Differenz der Halbkugel(Hk) des Viertelkreises und Torus(T)! V(Hk)=(2*a³*p)/3 So nun der Torus: Der Meridianschnitt ist ein der schon erwänhte Halbkreis mit F=(a²*p)/8, der Schwerpunkt der Fläche legt a/2 zurück, also folgt V(T)=(a³*p²)/8 Also: Vy=V(Hk)-V(T) Vy=(2*a³*p)/3 - (a³*p²)/8 Vy=(16*a³*p - 3*a³*p²)/24 Vy=(a³*p*(16-3p))/24 Mein Programm, dass ich benutze unterstütz diese Variante sogar! Diesen Wert dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt: xS=Vy/(2*p*F) xS=(a*(16-3p))/(6p) Vielleicht findest du meinen Fehler, sodass wir auf einen gemeinsammen Nenner kommen! mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 755 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juni, 2003 - 21:41: |
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Wo wir schon dabei sind, hier mein Weg für Vx und yS! Vx ergibt sich als Differenz der Volumina der Halbkugel(Vv) des Viertelkreises und der Kugel(Vk) des Halbkreises! V(Vv)=(2*a³*p)/3 V(Vk)=(a³*p)/6 Vx = (a³*p)/2 yS ergibt dann wieder aus Vx=2*p*yS*F, wobei wir F ja schon als (a²*p)/8 berechnet hatten. Formel umstellen und vereinfachen: yS=2a/p! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2121 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juni, 2003 - 08:35: |
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Hi Ferdi, Deine Lösung ist korrekt; ein Fehler hat sich bei MIR eingenistet und zwar ist ein Faktor Pi beim Torusvolumen verloren gegangen und hat sich offenbar in Luft aufgelöst! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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