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Induktion

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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1306
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 18:12:   Beitrag drucken

Hi

Sei r eine natürliche Zahl. Man zeige:
Es gibt rationale Zahlen ar1,...,arr, so dass für alle natürlichen Zahlen n gilt
Sn k=1 kr=1/(r+1)*nr+1+arrnr+...+ar1n.

MfG
C. Schmidt
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 593
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 22:31:   Beitrag drucken

Christian,

(k+1)r+1-kr+1=

Sr+1 i=1 binom(r+1,i)kr+1-i

Summiere dies über k von 1 bis n.:

(n+1)r+1-1 =

Sr+1 i=1binom(r+1,i)Sr+1-i(n)

wobei Sj(n) := Sn k=1kj gesetzt wurde.

Löse nach Sr(n) auf und wende Induktion bzgl. r an.
mfG Orion
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Zaph (zaph)
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Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 1402
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Mai, 2003 - 07:33:   Beitrag drucken

Hey, nicht schlecht, Orion! Da haben wir uns schon die Zähne dran ausgebissen.
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Mai, 2003 - 10:50:   Beitrag drucken

Hallo,

Folgende Variante fällt mir dazu ein (falls noch ein paar Zähne übrig sind):

[(n+1)r+1-1]/(r+1) = ò1 n+1xrdx =

Sn m=1òm m+1xrdx =

Sn m=1ò0 1(x+m)rdx .

Entwickle (x+m)r nach dem binomischen Satz,
vertausche die Reihenfolge der Summationen, beachte
dass ò0 1xjdx = 1/(j+1).

Have fun !




mfG Orion
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 1308
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Mai, 2003 - 16:26:   Beitrag drucken

Vielen Dank für die Beweise.

Das Teleskopprinzip scheint ja sehr häufig vorzukommen...

MfG
C. Schmidt

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