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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 08:01: | 
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Wie lange fällt ein Körper durch die Erde? (Er bewege sich reibungsfrei in einer Röhre durch den Erdmittelpunkt zur anderen Seite. Die Erde sei kugelförmig und homogen.) |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 13:24: |
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Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist die Anziehungskraft im Innern einer homogenen Kugel proportional zum Abstand vom Mittelpunkt der Kugel und immer zum Mtelpunkt hin gerichtet.
Für die Erde gilt:
Wir zählen die Koordinate x vom Erdmittelpunkt aus.
Es ist die Ableitung von x nach der Zeit x' die Geschwindigkeit und die zweite Ableitung x" die Beschleunigung.
Im Mittelpunkt g=0
An der Oberfläche R=6370 km: g=-9.81 N/kg
g(x)=-(9,81/R)*x=1,54 10-6*x
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Dies ist g als Funktion von x.
Auf ein Masseteilchen mit Masse m an der Position x wirkt die Kraft:
F = m*g(x)
Diese muss im Gleichgewicht mit der Trägheitskraft m*x" sein.
m*g(x) = m*x"
x"+g(x)=0
x"+1,54 10-6*x = 0
Wir nennen 1,54 10-6 = w²
x"+w²x = 0
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Dies ist die (hoffentlich) bekannte Differentialgleichung der harmonischen Schwingung mit der Lösung
x(t)=Asin(wt)+Bcos(wt)
mit der Periodenzeit T=2*p/w
Wir suchen die halbe Periodenzeit:
Th = p/W(1,54 10-6)=2532 s
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Die gesuchte Zeit ist: 2532 s = etwa 0,7 Stunden
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Als weitere Übung kannst du aus den Anfangsbedingungen x(0)=R
und x'(0)=0
die Konstanten A und B bestimmen, dann x(t) ableiten und z.B. die Höchstgeschwindigkeit der Bewegung (im Erdmittelpunkt) errechnen.
(Falls ich mich nicht verrechnet habe: 28457 km/h, also vielfache Schallgeschwindigkeit). |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 15:35: |
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Interessant ist übrigens noch, daß die Bewegung der "Rohrpost" synchron zu der eines entsprechend gestarteten Satelliten verläuft.
Zur Voraussetzung noch eine Frage: _Wieso_ nimmt die Fallbeschleunigung im Innern einer homogenen Kugel linear ab? Darüber sagt das Gravitationsgesetz direkt nichts aus. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 18:20: |
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Zum Innenleben einer homogenen Kugel:
Das Gravitationsgesetz von Newton legt die Anziehungskraft zwischen zwei Massepunkten fest.
F=k*M*m/r²
Den Verlauf eines Gravitationsfeldes innerhalb und außerhalb einer kugelförmigen Masse, muss man durch Summation (=Integration) ermitteln.
Für den Außenraum einer Kugel ergibt sich, dass die Anziehungskraft mit dem Quadrat des Abstandes zum Kugelmittelpunkt ändert.
Für den Innenraum verläuft die Anziehungskraft linear zum Abstand. Ich will mal versuchen, dies mit "plausiblen" Mitteln (ohne Intagralrechnung) darzustellen.
Betrachten wir zunächst das Innere einer Hohlkugel:
Ein Masseteilchen wird dort von allen Richtungen her angezogen.
Siehe Skizze.
Das Masseteilchen m wird von einer Oberflächenmasse S1 angezogen. Die Kraft ist proportional zu S1 und umgekehrt proportional zu a².
Gleichzeitig wirkt eine entgegengesetzte Kraft, ausgehend von S2.
S1/S2 verhält sich wie a²/b².
Die beiden Kräfte sind also gleich groß aber entgegengesetzt und heben sich gegenseitig auf.
Summiert man über die gesamte Hohkugelmasse, so ergibt sich im Inneren die Anziehungskraft = 0
VOLLKUGEL:
Wir denken uns die Vollkugel aus lauter konzentrischen Kugelschichten zusammengesetzt.
Für einen Massenpunkt irgendwo im Innern wirken die weiter außen liegenden Schichten wie eine Hohlkugel; die Anziehungskraft wird nur durch die inneren Schichten bewirkt.
Die Masse der inneren Schichten (=Kugel) ist proportional dem Volumen also r³, der Abstand des Masseteilchens vom Mittelpunkt ist r.
Kraft = k*r³/r²=k*r
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Die Anziehungskraft ändert sich linear mit r.
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Wäre unsere Erde doppelt so groß im Durchmesser (bei gleicher Dichte) so wäre die Erbeschleunigung ebenfalls doppelt (=2*g). Sie wächst linear mit dem Radius.
Ein Mensch würde dann zwar von einer Masse=k*R³ angezogen, wäre aber dafür k*R entfernt.
Gewicht=K*R³/R²=K*R
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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 21:13: |
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Die "schwerelose" Hohlkugel ist sehr interessant; danke! Läßt sich die Anziehung eines Punktes auf einer Vollkugel ähnlich begründen; denn das Gravitationsgesetz gilt ja streng nur zwischen Punkten? |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 07:59: |
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Tut mir leid.
Der Beweis, dass die Gravitation auf eine Vollkugel so wirkt als ob die gesamte Masse der Kugel im Mittelpunkt konzentriert wäre, ist nicht so einfach zu führen und ich kenne keine "plausible" Erklärung.
Übrigens: Für nichtkugelförmige Körper (z.B. die berühmte Kartoffelform in der Physik) gilt im Allgemeinen nicht, dass der Gravitationsmittelpunkt gleich dem Massenmittelpunkt ist. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 20:18: |
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Nochmals herzlichen Dank für Deine umfangreiche Mühe. Aufgabe und Ergebnis waren mir aus grauer Vorzeit in Erinnerung; nun wollte ich den Lösungsweg nachholen. ;-)
Muß es eigentlich einen Gravitationsmittelpunkt geben? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 21:49: |
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Hi Fern,
habe ich dich richtig verstanden? Im Inneren einer Hohlkugel herrscht Schwerelosigkeit?? Kann ich anschaulich nicht nachvollziehen. m (siehe deine Skizze) ist doch näher an S1 als an S2 und müsste deshalb von S1 mehr angezogen werden als von S2... |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 22:31: |
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Hallo Zaph,
Meine Erklärung ist nicht als streng mathematischer Beweis zu bewerten.
S1 ist zwar näher aber dafür auch kleiner als S2.
Und zwar verhalten sich S1 zu S2 wie die Quadrate der Abstände von m. (Wegen der Oberflächenformel der Kugel).
Die Gravitationskräfte verhalten sich wie
k*1/(Abstand)².
Daher ist S1/a²=S2/b² Die beiden Kräfte sind also gleich groß.
Das gleiche gilt für alle paarweise auftretenden Oberflächenelemente der Hohlkugel: also Schwerelosigkeit. (Natürlich nur wenn sich außerhalb der Kugel keine Masse befindet). |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Februar, 2000 - 15:14: |
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Beim Blättern in verschiedenen Physik-Lehrbüchern der Sekundarstufe muß man feststellen, daß das Gravitationsgesetz meist falsch dargestellt ist (entweder in der historischen Perspektive für Planeten oder "für alle Körper") und den Schülern so das Gravitationspotential einer homogenen Vollkugel kraft pädagogischer Wassersuppe als "trivialerweise" V(r)=gamma*M/r eingeredet wird.
Das reizt natürlich, und ich denke, daß die oben vorgestellte Methode der Hohlkugeln auch für eine Untersuchung des Außenfeldes einer homogenen Vollkugel der Dichte µ taugt.
Die Kugel mit dem Mittelpunkt O sei in Hohlkugeln (r=0...R;dr) zerlegt; der betrachtete Punkt P habe die Entfernung a=OP>R. Wir nehmen eine Hohlkugel r und zerschneiden sie senkrecht zur Achse OP in Kugelzonen (weil wir damit ein Gebiet gleicher Entfernung zu P haben).
Im Querschnitt stellt sich die Kugelzone als infinitesimale Strecke AB (Mitte M) auf dem Umfang dar. r=OM; alpha:=Winkel(POM); phi:=Winkel(OPM); Breite des Zonenstreifen gegenüber der OP-Achse e=AB*sin(alpha). Die Masse der Kugelzone dm(alpha)= µ*Fläche(alpha)*dr=2*pi*µ*r*sin(alpha)*AB*dr=2*pi*µ*r*e*dr und deren Beitrag zum Gravitationspotential in P dV(alpha)=gamma*dm(alpha)/x; alle Zonen also dV=gamma*2*pi*m*rdr*INTEGRAL[alpha=0..pi]e/x.
Der Term e/x (besser de(alpha)/x(alpha) ) erfordert zur Summation eine Umstellung. Es scheint so, daß mit d:=AP-BP e/x=d/a, die Summe e/x also 1/a * Summe d. Die Gesamtsumme dieser x-Differenzen ist größter minus kleinster x-Wert = (a+r)-(a-r)=2r.
Für die Hohlkugel also dV=gamma*4pi*µ*r²dr/a bzw. für die Vollkugel (M=4pi*µ*R³/3): V=gamma*M/a q.e.d. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Februar, 2000 - 16:17: |
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Fern, ah, jetzt, ja!
Hatte zwischenzeitlich meinen Bildschirm auf "kleine Schriftarten" gesetzt und statt
"S1/S2 verhält sich wie a²/b²" immer
"S1/S2 verhält sich wie a./b." gelesen und auch zweidimensional gedacht.
Geht es eigentlich nur mir so, dass bei kleinen Schriftarten die Exponenten, die man direkt über die Tastatur eingeben kann (2 und 3), nicht angezeigt werden? Exponenten, die über Steuersequenz eingegeben werden, sind lesbar. Ich benutze Netsape 4.6. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Februar, 2000 - 19:48: |
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Bei mir geht's (Netscape 4.5, 19" Bildschirm). |
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