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Jessica (summerrain2)
Junior Mitglied Benutzername: summerrain2
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 15:56: |
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Hallo! Wir haben eine etwas komplizierte aufgabe zu machen... wir sollen überprüfen eine punktsymetrie zum ursprung vorliegt, achsensymetrie, bestimmung der nullstellen, extrema, und wendepunkte! f(x) = x^5 - 3x^3- 2x^2 |
A.K.
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. Mai, 2002 - 08:35: |
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Hallo Jessica f(x)=x5-3x³-2x² Eine Funktion heißt punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f(x)=-f(-x); sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt: f(x)=f(-x) f(-x)=(-x)5-3*(-x)³-2*(-x)²=-x5+3x³-2x² -f(-x)=x5-3x³+2x² => f(x)<>f(-x) und f(x)<>-f(x) => weder punkt- noch achsensymmetrisch. Nullstellen: f(x)=0 <=> x5-3x³-2x²=0 <=> x²(x³-3x-2)=0 <=> x²=0 oder x³-3x-2=0 <=> x=0 oder x³-3x-2=0 Wegen x³-3x-2=(x²-x-2)(x+1) folgt x=-1 oder x²-x-2=0 => x=0,5±Ö(0,25+2) =0,5±Ö2,25 =0,5±1,5 => x=0,5+1,5=2 bzw. x=0,5-1,5=-1 Nullstellen sind also: N1(0|0); N2(-1|0) und N3(2|0) Ableitungen: f'(x)=5x4-9x²-4x f"(x)=20x³-18x-4 f"'(x)=60x²-18 Extrema: f'(x)=0 <=> 5x4-9x²-4x=0 <=> x(5x³-9x-4)=0 <=> x=0 oder 5x³-9x-4=0 <=> x=0 oder (5x²-5x-4)(x+1)=0 <=> x=0 oder x=-1 oder 5x²-5x-4=0 5x²-5x-4=0 |:5 <=> x²-x-0,8=0 => x=0,5±Ö(0,25+0,8) =0,5±1,0247 =>x=1,5247 bzw. x=-0,5247 wegen f"(0)=-4<0 f"(-1)=-20+18-4=-6<0 f"(1,5247)=39,4451>0 und f"(-0,5247)=2,5555>0 hat die Funktion für x=0 und x=-1 Maxima und für x=1,5247 und x=-0,6247 Minima Wendepunkte: f"(x)=0 <=> 20x³-18x-4=0 |:2 <=> 10x³-9x-2=0 <=> x=-0,8077 oder x=-0,237 oder x=1,0447 mit 3. Ableitung überprüfen (Anmerkung: Nullstellen der 2. Ableitung mit Näherungsverfahren ermitteln; oder Taschenrechner) Mfg K. |
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