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Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 18:36: |
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Hallo! Ich habe zwei Aufgaben zur vollständigen Induktion bekommen. Ich habe aber noch Probleme mit diesem Beweisverfahren. wäre nett wenn ihr mir helfen könnt. brauche die aufgaben bis morgen abend. Der Lösungsweg ist mir wichtig. Die Aufgaben: 1) 4+10+16+...+(6n+4)=(n+1)*(3n+4) 2) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=n(n+1)*(n+2)/3 n(n+1)*(n+2) <- ist der Zähler /3 <- Nenner |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 489 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:12: |
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1) ersteinmal eine Summenformel: \Sigma\(von i=0 bis n)(6i+4) Ind. Anfang: n=0: \Sigma\(von i=0 bis 0)(6i+4)=4 (0+1)(3*0+4)=4 4=4 wahre Aussage Ind. Schritt: -Ind.Voraussetzung: n=k: \Sigma\(von i=0 bis k)(6i+4)=(k+1)*(3k+4) -Ind.Behauptung: n=k+1: \Sigma\(von i=0 bis k+1)(6i+4)=(k+1+1)*(3(k+1)+4) Beweis: nun von der Voraussetzung zur Behauptung - daher als 1. die allgemeine Formel mit eingesetztem k nehmen und dann das nächste Glied mit (k+1) an die Summe anhängen (k+1)*(3k+4)+6(k+1)+4=(k+1+1)*(3(k+1)+4) irgendwie die Voraussetzung so umstellen, dass man zur Behauptung kommt: 3k²+7k+4+6k+10=(k+1+1)*(3(k+1)+4) 3k²+13k+14=(k+1+1)*(3(k+1)+4) Nebenrechnung: #3(k+1)(k+2)=3k²+9k+6 #3k²+13k+14-(3k²+9k+6)=4k+8 3(k+1)(k+2)+4k+8=(k+1+1)*(3(k+1)+4) 3(k+1)(k+2)+4*(k+2)=(k+1+1)*(3(k+1)+4) (k+2)*(3(k+1)+4)=(k+1+1)*(3(k+1)+4) (k+1+1)*(3(k+1)+4)=(k+1+1)*(3(k+1)+4) w.z.b.w. meine Umstellung war sicherlich nicht die Beste, aber immerhin hats funktioniert ;) mfG Tux
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Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 490 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. März, 2005 - 22:21: |
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2) 1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=n(n+1)*(n+2)/3 Wieder deine Punkte in eine Summenformel fassen: \Sigma\(von i=1 bis n)(i*(i+1))=n(n+1)*(n+2)/3 Ind. Anfang: n=1: \Sigma\(von i=1 bis 1)(i*(i+1))=2 1(1+1)*(1+2)/3=2 2=2 wahre Aussage Ind. Schritt: -Ind. Voraussetzung: n=k \Sigma\(von i=1 bis k)(i*(i+1))=k(k+1)*(k+2)/3 -Ind. Behauptung: n=k+1 \Sigma\(von i=1 bis k+1)(i*(i+1))=(k+1)(k+1+1)*(k+1+2)/3 Beweis: k(k+1)*(k+2)/3+(k+1)*(k+1+1)=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3 (k(k+1)*(k+2)+3(k+1)*(k+1+1))/3=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3 ausklammern von (k+1)*(k+2) (k+1)*(k+2)*(k+3)/3=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3 (k+1)*(k+1+1)*(k+1+2)/3=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3 w.z.b.w. mfG Tux
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