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Witting (Witting)
Mitglied Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 27 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 19:06: |
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Hallo! Wie berechne ich die Monotonie und die obere bzw. untere Schranke der Folgen: 1. a = Anzahl der positiven Teiler von n 2. a= sqrt(n+1) - sqrt n 3. a = (3/4)^n Vielen Dank im Voraus, Katharina Witting
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2064 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 08. März, 2004 - 20:43: |
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1)nicht monoton, Beispiel: 12: Teiler 2,3,4,6; 13: keine echten Teiler 14: Teiler 2,7 untere Schranke 0, obere unendlich 2) monoton fallend, obere schranke 1, untere 0: ich kürze sqrt mit w ab: a(n) = w(n+1)-w(n) a(n+1)-a(n) = [w(n+2)-w(n+1)] - [w(n+1)-w(n)] a(n+1)-a(n) = w(n+2) - 2*w(n+1) + w(n) nun zu zeigen w(n+2) - 2*w(n+1) + w(n) < 0 w(n+2) + w(n) < 2*w(n+1); quadrieren 2n + 2 + 2*w(n²+2n) < 4n+4 2*w(n²+2n) < 2n+2, w(n²+2n) < n+1 n²+2n < n²+2n+1 stimmt, also monoton fallend. Der limn->oo(w(n+1)-w(n)) = limn->oow(n)[(w(1+1/n)-1)]="oo*0" = limn->oo[(w(1+1/n)-1)] / [1/w(n)]= "0/0" = was mit einmaliger L'Hospitalanwendung zu 0 wird. 3)Monoton fallen, obere Schranke 1, untere 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 799 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. März, 2004 - 13:59: |
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Friedrich hat es ja schon richtig beantwortet. Trotzdem noch zwei Anmerkungen von mir: 1) DIE obere Schranke gibt es in einem nach oben unbeschränktem Raum nicht. 2) Die erste Folge hat keine obere Schranke. Unendlich ist nämlich keine konkrete Zahl.
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