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Chapuismichel (Chapuismichel)
Mitglied Benutzername: Chapuismichel
Nummer des Beitrags: 21 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 18:49: |
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Ich hoffe, das mir bei den folgenden Aufgaben jemand helfen kann. Wenn möglich mit Lösungsweg. 1.) x eins und x zwei sind die Lösungen der Gleichung x^2 +px+q=0. Drücke den Therm x eins ^3 +x zwei ^3 durch p und q aus ohne x eins und x zwei auszurechnen. 2.) Es sei x-y=4 und M=x^2+y^2. Für welches Zahlenpaar (x/y) ist M minimal? Vielen Dank schon im Voraus. MfG Michelin} |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 462 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:31: |
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Hi Chapuismichel! Zu Aufgabe 1 hätte ich schonmal eine Lösung anzubieten. Man benutzt dabei den Satz von Vieta: x1+x2=-p x1*x2=q Der Ansatz geht über die binomische Formel 3. Grades. Die rot markierten Teile ergeben sich aus der "roten", die blau markierten Teile aus der "blauen" Formel von Vieta (s.o.): (x1+x2)³ = x1³+3x1²x2+3x1x2²+x2³ = x1³+3x1q+3x2q+x2³ = x1³+x2³+3q(x1+x2) = x1³+x2³-3qp Bislang können wir also folgende Gleichung aufstellen: (x1+x2)³ = x1³+x2³-3qp Nun gilt x1+x2=-p Also: -p³ = x1³+x2³-3qp 3pq-p³ = x1³+x2³
Mit freundlichen Grüßen Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 463 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:41: |
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Zu 2: Die beiden Bedingungen lassen sich so umschreiben: x²+y²=M y = x-4 Setze nun x-4 für y in die obere Gleichung ein. Statt M kannst du nun f(x) schreiben, denn es liegt ja eine Funktion von x vor. x²+(x-4)²=f(x) Vereinfachen: f(x) = x² + x² - 8x + 16 f(x) = 2x² - 8x + 16 Es handelt sich um eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach oben geöffnete Parabel ist. Ihr Minimum liegt im Scheitelpunkt. Also sollten wir ihn finden: f(x) = 2(x² - 4x) + 16 f(x) - 16 = 2(x² - 4x) (f(x) - 16)/2 = x² - 4x Jetzt die quadratische Ergänzung benutzen: (f(x) - 16)/2 + 4 = x² - 4x + 4 (f(x) - 16)/2 + 4 = (x - 2)² (f(x) - 16)/2 = (x - 2)² - 4 f(x) - 16 = 2(x - 2)² - 8 f(x) = 2(x - 2)² + 8 Der Scheitelpunkt liegt also bei (2 | 8). Damit haben wir unser Zahlenpaar gefunden (x=2, y=8).
Mit freundlichen Grüßen Jair
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