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_caro_ (_caro_)
Junior Mitglied
Benutzername: _caro_
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 17:40: | 
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Mal wieder eine Aufgabe, bei der ich einfach keinen Ansatz habe an sie dran zu gehen. Ich hoffe mir kann auch hier weitergeholfen werden...Danke!
Nach 2 Monaten Mast haben durchschnittlich 70% der Kälber das erforderliche Schlachtgewicht erreicht. Ein Bauer mästet 12 Kälber 2 Monate lang. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er mindestens 10 schlachtreife Kälber? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4659
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 07:00: |
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Hi Carola
Deine Aufgabe kann mit Hilfe der Binomialverteilung
gelöst werden.
Wir summieren für n = 12 die b-Werte
b(n, p, k) von k = 10 an bis und mit 12,
da „mindestens 10“
gleichbedeutend ist mit k = 10,11,12.
Für die Anzahl n der Versuche gilt also n = 12,
die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p = 0,7,
die zugehörige Gegenwahrscheinlichkeit q = 0,3.
Sei B(r,s) der Binomialkoeffizient r über s, also
B(r,s) = r! / [s! / (r-s)!] ö
Es gilt bekanntlich:
b(n, p, k) = B(n,k) * p^k * q^(12 - k)
In unserem Fall:
b(12 , 0,7, k) = B(12,k) * (0,7)^k * (0,3)^(12 - k)
Wir setzen der Reihe nach k = 10,11,12 ein und addieren
diese drei Terme.
Es entsteht als Näherung die Summe
0,2528
für die im Aufgabentext gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4660
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 07:24: |
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Hi Carola,
Es folgt eine interessante Zusatzaufgabe.
Mischt man dem Futter der Kälber regelmäßig
etwas Kraftfutter „FORS“ (Name gesetzlich geschützt) bei,
so erreicht man damit, dass nach 2 Monaten Mast
durchschnittlich 80% der Kälber das erforderliche
Schlachtgewicht erreicht.
Man zeige rechnerisch, dass die im Aufgabentext
erwähnte Wahrscheinlichkeit jetzt größer als 50% ist.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4661
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 15:18: |
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Hi Carola
Bei der Zusatzaufgabe erhält man für die gesuchte
Wahrscheinlichkeit S den Näherungswert.
S ~ 0,5583
Dieser Wert sowie der früher ermittelte Wert 0,2528
wurden beide mit Maple berechnet.
Man kommt auch mit Hilfe von Tabellen zum Ziel,
indem man die so genannten F-Tabellen benützt.
Das sind Tabellen, in denen die Werte der
Binomialverteilung summiert vorliegen,
im folgenden Sinn:
F(n,p,k) = sum[b(n,p,j)]
Der Summationsindex j läuft von j = 0 bis j = k
In unserem Beispiel müssen wir die Summe s
bestimmen:
s = b(12 , 0,7, 10) + b(12 , 0,7, 11) + b(12 , 0,7, 12).
s ist identisch mit dem Ausdruck
s = 1 - F(12, 0,7, 9), denn das Ereignis
„mindestens 10 Erfolge“ ist das Gegenereignis zu
„höchstens 9 Erfolge“.
Wir suchen den Wert für Z = F(12, 0,7, 9)
in einer Tabelle,
z.B. im Anhang des Stochastik-Lehrbuches aus dem
Cornelsen - Verlag.
Achtung:
Weil p > 0.5 ist, gilt der untere Tabelleneingang und
der Zutritt von rechts.
Wir lesen ab: 0,2528
Beim genannten Tabelleneingang (p>0,5) gilt:
F(n,p,k)) = 1 – abgelesener Wert, also hier
Z = 0,7472.
Da dies wiederum auf eins zu ergänzen ist,
landen wir beim Ergebnis
s = 0,2528
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4662
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 16:15: |
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Hi Carola
Man kann Deine Aufgabe auch mit der Poisson-Verteilung
angehen!!
Das Resultat sei vorweggenommen.
Poisson liefert die Wahrscheinlichkeit:
0,2491
°°°°°°°
Bestätigung
Es geht zuerst darum, den Mittelwert a = n * p
zu bestimmen;
es gilt n = 12 (Anzahl der Kälber), p = 0,7, somit
a = 8,4
Nun benützen wir die Grundformel von Poisson:
p(x) = a^x / x! * e^(-a).
Was ist die Bedeutung von p(x)?
Diese p(x) sind zu summieren
und zwar folgendermaßen:
mindestens 10 schlachtreife Kälber bedeutet
10,11,12 schlachtreife Kälber.
Berechnung der Summe s:
Summation der p(x) für x = 10 bis und mit x = 12
s = p(10) + p(11) + p(12) ?
s = e^(-8.4)*[8.4^10/10!+8.4^11/11!+8.4^12/12!] ~
0,2491
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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