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Stb1982 (Stb1982)
Neues Mitglied
Benutzername: Stb1982
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 16:21: | 
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Hallo würde mich sehr über eure Hilfe freuen
Gegeben ist f:x e^-x
a) Stellen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f für eine beliebige Stelle x = u auf.
b) Bestimmen sie das Volumen V des Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen von f zwischen x = 0 und x = 10 um die x-Achse entsteht.
c) Für welches u hat das Dreieck, gebildet aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen, maximalen Flächeninhalt? |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 520
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 22:02: |
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Hi, hier mal ein paar Ansätze:
zu a: Die Tangentengleichung ist allgemein
t(x)=f(u)+f'(u)*(x-u), also hier t(x)=exp(-u)*(1-(x-u))
zu b: allgemein gilt
V=Integral von 0 bis 10 über pi*f(x)^2*dx
zu c: Betrachte das Produkt von den Abständen der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, also von
t(0)=exp(-u)*(1+u) und von x=u+1, folglich muss das lokale Extremum von A(u)=exp(-u)*(u+1)^2 gesucht werden.
sotux |
Tux87 (Tux87)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tux87
Nummer des Beitrags: 450
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 22:10: |
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a)
f:x/e^x
f': (1-x)/e^x --> das ist der Anstieg der Tangente
Im Punkt x=u ist der Anstieg demzufolge
(1-u)/e^u
Die Tangentengleichung lautet dann
y=(1-u)/e^u*x+n
um n zu erreichnen setzen wir einfach den Punkt (u|f(u)) ein:
u/e^u=(1-u)/e^u*u+n
u/e^u=u/e^u-u²/e^u+n |nach n umstellen
n=u²/e^u
y=(1-u)/e^u*x+u²/e^u
b)
Wie so oft in der Mathematik gibt es hierfür eine tolle Formel:
Vx=pi*S(von a bis b) y² dx
Vx=pi*S(von 0 bis 10) (x/e^x)² dx
Vx=pi*S(von 0 bis 10) x²/e^x² dx
Vx=pi*((-x²-x)/2-1/4)/e^(2x)
Vx=pi/4-221pi/(4e^20)
Vx=0,785 VE
c)
A=g*h/2
g=u
h=u/e^u
A=u²/2e^u
A'=(4u*e^u-2u²e^u)/4e^2u
A'=0
(4u*e^u-2u²e^u)/4e^2u=0
4u*e^u-2u²*e^u=0 -- u=0
4e^u-2u*e^u=0
2e^u(2-u)=0
2-u=0
u=2
A''=(u²/2-2u+1)/e^u
A''(0)=1 > 0 lok. Minimum
A''(2)=-1/e^2 < 0 lok. Maximum
lim(u->0)u²/2e^u=0
lim(u->unendlich)u²/2e^u=0
lim(u->2)u²/2e^u=2/e²
lok. Max.=glob. Max.
u=2
===
mfG
Tux
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