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Petjojo (Petjojo)
Junior Mitglied
Benutzername: Petjojo
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. September, 2004 - 18:08: | 
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Hallo, habe hier eine Aufgabe und weiß nicht ansatzweise, was zu tun ist. Die Aufgabe lautet: Eine ganzrationale Funktion f ist so zu bestimmen, dass ihr Graph einen Übergangsbogen zwischen zwei Halbgeraden bildet. Der Grad von f soll dabei möglichst klein sein.
a) Der Graph von f soll an den Anschlusstellen keinen "Knick" aufweisen. Präzisiere diese Forderung mathematisch und bestimme dann f(x).
b) f soll an den Anschlusstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den halbgeraden übereinstimmen. Bestimme f (x).
Ich weiß davon überhaupt nichts. Wenn ich wenigstens ein Gleichungssystem hätte, könnte ich das auch lösen, aber ich komm auf keine Gleichungen. Neben der Aufgabe ist eine Skizze mit den Halbgeraden. Die erste wird durch f(x)= x+1 und die andere durch f(x)=4 beschrieben. Die erste Gerade kommt aus dem negativen und endet bei (1/2), die zweite fängt bei (3/4) an. Bitte helft mir! |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1580
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. September, 2004 - 18:37: |
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Hallo
Zu a): Anschlussstelle bedeutet, dass die Funktion f an der Stelle x=1 den Wert 2 annimmt und an der Stelle x=3 den Wert 4. Also f(1)=2 und f(3)=4. Das sind schonmal 2 Bedingungen.
Kein Knick bedeutet, dass die ersten Ableitungen übereinstimmen müssen. Die ersten Ableitungen können wir hier leicht bilden. Es muss damit gelten
f'(1)=1 und f'(3)=0. Insgesamt haben wir also vier Bedingungen. Wir wählen daher den Ansatz
f(x)=ax3+bx2+cx+d
Dann ergeben sich aus unseren Bedingungen die 4 Gleichungen
a+b+c+d=2
27a+9b+3c+d=4
3a+2b+c=1
27a+6b+c=0
Ich erhalte als Lösung f(x)=-1/4*x3+5/4*x2-3/4*x+7/4.
Das Polynom hat auch den kleinstmöglichen Grad, denn sonst hätte unser Gleichungssystem eine weitere Lösung mit a=0, was aber nicht der Fall ist.
b) geht im Prinzip genauso. Da musst du nur noch die Bedingungen einbauen, dass f''(1)=0 und f''(3)=0 gilt. Dann versuchst du einen Ansatz mit einem Polynom 5. Grades.
MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1582
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. September, 2004 - 22:42: |
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Hallo
Hier mal die Lösung von Aufgabe b)
f(x)=3/16*x5-29/16*x4+51/8*x3-81/8*x2+135/16*x-17/16
MfG
Christian |
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