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Beitrag |
    
Engelchen85 (Engelchen85)
Junior Mitglied
Benutzername: Engelchen85
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 17:14: | 
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Hey, hab mal eine Frage:
Ist eine Definitionslücke dasselbe wie eine Polstelle?
Danke im voraus! |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 837
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 17:48: |
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nein, eine Definitionslücke ist nur dann eine Polstelle, wenn sie nicht hebbar ist.
Beispiel:
x²/(x²+x) besitzt bei x=0 eine Definitionslücke, aber keine Polstelle, da limx->0f(x)=0.
Man erkennt dies am einfachsten daran, daß der Term für x¹0 kürzbar ist. Der gekürzte Term ist dann x/(x+1) und hat bei x=0 eben keine Definitionslücke mehr. |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 619
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. April, 2004 - 18:23: |
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Hallo allerseits!
Vielleicht sollte man noch ein bisschen deutlicher werden und sagen:
Eine Polstelle ist eine Definitionslücke, an der die Funktionswerte gegen + oder - ¥ gehen.
Das Beispiel von Ingo kann man noch sehr gut fortsetzen: An der Stelle x=-1 liegt nämlich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Es gilt:
l-limx®-1=+¥, weil der Zähler von x/(x+1) gegen -1 läuft, der Nenner aber von den negativen Zahlen her gegen 0.
r-limx®-1=-¥, weil der Zähler immer noch gegen -1 läuft, der Nenner aber von den positiven Zahlen her gegen 0.
(l-lim heißt linksseitiger Grenzwert, r-lim rechtsseitiger Grenzwert).
Eine Polstelle liegt also an einer Definitionslücke vor, wenn die einseitigen Grenzwerte jeweils gegen +¥ oder gegen -¥ gehen. Sind die einseitigen Grenzwerte dagegen endlich und auf beiden Seiten gleich, dann liegt eine (hebbare) Lücke vor. Ist mindestens ein einseitiger Grenzwert endlich und sind die beiden einseitigen Grenzwerte aber nicht gleich, dann sprechen wir von einem Sprung.
Viele Grüße
Jair
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1004
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. April, 2004 - 09:52: |
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Ein weiterer Unterschied ist das die Funktionen auf "hebbaren Definitionslücken" stetig fortsetzbar sind. (daher die Betonung auf "hebbar= beseitigbar) den es gibt dann eine steig fortsetzbare Funktion die auch an diesem Punkt definiert ist.
Polstellen sind dagegen (genauso wie Sprungstellen) "Unstetigkeitstellen"- können also nicht beseitigt werden! Ein klassischen Beispiel ist f(x)=1/x mit der Polstelle x=0 diese Funktion kann man nicht in x=0 stetig fortsetzen.
mfg
Niels |
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