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Blizzard (Blizzard)
Junior Mitglied Benutzername: Blizzard
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 21:47: |
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Hallo! Ich habe folgende Funktion gegeben: f(x)= (ax+x^2) / (1-ax^2) Wenn ich nun die Extremstellen bestimmen will, wird f'(x)=0 gesetzt, dann erhalte ich: x= (-( Wurzel(1-a^3)+1)) / a^2 oder x= (Wurzel(1-a^3)-1)) / a^2 Stimmt das? Die Ergebnisse kommen mir so komisch vor, weil sich damit schwer weiterrechnen lässt und die Aufgaben im Mathebuch sonst nicht so lange Ausdrücke beinhalten. Und wie mache ich mit den Wendestellen weiter? Wenn ich f''(x)=0 rechne, komme ich irgendwann nciht mehr weiter, kann es also nicht nach x auflösen. Und noch eine Frage: Wie bestimme ich eine Ortslinie zu dieser Funktion? Und was ist eine "Hüllkurve"? Unser Lehrer hat gesagt, wir sollen uns damit beschäftigen, ich finde aber in keinem Buch was dazu. Vielen Dank schon mal Stefan |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1492 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 22:57: |
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f(x)= (ax + x²)/(1 - ax²) f '(x) = [(1 - ax²)(a + 2x) - (-2ax)(ax + x²)]/(1 - ax²)² = (a + 2x - a²x² - 2ax³ + 2a²x² + 2ax³)/(1 - ax²)² = (a + 2x + a²x²)/(1 - ax²)² = 0 => a + 2x + a²x² = 0 => x = (-1 +/- Wurzel(1 - a³))/a² ... dein Ergebnis scheint richtig zu sein ... |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1493 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 23:23: |
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f '(x) = (a + 2x + a²x²)/(1 - ax²)² => f "(x) = [(1 - ax²)²(2 + 2a²x) - 2(-2ax)(1 - ax²)(a + 2x + a²x²)]/(1 - ax²)^4 = 2[(1 - 2ax² + a²x^4)(1 + a²x) + (2ax - 2a²x³)(a + 2x + a²x²)]/(1 - ax²)^4 = 2[1 + a²x - 2ax² - 2a³x³ + a²x^4 + a^4x^5 + 2a²x + 2ax² + 2a³x³ - 2a³x³ - 4a²x^4 - 2a^4x^5]/(1 - ax²)^4 = 2[1 + 3a²x - 2a³x³ - 3a²x^4 - a^4x^5]/(1 - ax²)^4 ... ohne Gewähr ... ja, ist ziemlich eklig! ... |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 101 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 21:46: |
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Zur 2. Ableitung: Bei der Benutzung der Kettenregel in Zusammenhang mit der Quotientenregel sollte man niemals den Zähler ausmultiplizieren, sondern immer kürzen. Dann bleiben die Terme überschaubar: f"(x)= ((2a²x+2)(1-ax²)²-(a²x2+a+2x)(-2ax)(1-ax²)*2)/(1-ax²)4= ((2a²x+2)(1-ax²)-(a²x²+a+2x)(-4ax))/(1-ax²)³= (2a²x-2a³x³+2-2ax²+4a³x³+4a²x+8ax²)/(1-ax²)³= (2a³x³+6a²x+6ax²+2)/(1-ax²)³ Zugegeben, schön für die weitere Rechnung ist das auch nicht gerade; aber immerhin besser als die Lösung oben. Mit freundlichen Grüßen Jair
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1494 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 00:05: |
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Ohhh ... zu kürzen vergessen ... Schande über mich! Rechne jetzt mal mit Jairs Ergebnis weiter - in der Hoffnung, dass er sich nicht verrechnet hat (2a³x³ + 6a²x + 6ax² + 2)/(1 - ax²)³ = 0 <=> a³x³ + 3ax² + 3a²x + 1 = 0 Und nun?? Sieht doch gar nicht sooo wild aus ... |
Blizzard (Blizzard)
Junior Mitglied Benutzername: Blizzard
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 12:47: |
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Ok danke, ihr habt mir schon mal sehr geholfen Solche langen Terme hat man fast nie im Mathebuch, das geht sonst ja meistens auf. Werde heute nachmittag mal weiterrechnen, falls noch was ist, melde ich mich noch mal. Danke! |
Blizzard (Blizzard)
Junior Mitglied Benutzername: Blizzard
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 14:11: |
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Also, bei den Wendestellen komme ich nicht weiter, der Rechner ergibt auch das Ergebnis: f''(x)=0 => x(a^2*x^2+3x+3a) = -1/a Was sagt mir das nun? Damit kann ich nichts anfangen. Und wie berechne ich zu dieser Funktion die Ortslininen? Das ist doch die Kurve, die sich für alle (oder einen bestimmten Bereich) Punkte von t ergibt oder? Aber wie bestimme ich die? |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1496 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 15:46: |
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Was für eine Ortslinie sollst du berechnen? Die Kurve, auf der alle Wendepunkte liegen? |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1497 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 18:10: |
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Zur Kurve, auf der die Wendepunkte liegen: Gesucht sind alle Punkte (x,y), für die gilt: 1) a³x³ + 3ax² + 3a²x + 1 = 0 2) y = (ax + x²)/(1 - ax²) Aus 2 folgt 3) a = (y - x²)/(x²y + x) Dies in 1 eingesetzt und umgeformt: (3x² + x + 3)y³ - 3(x^6 + x³ + 1)y² - 3x²y - x^7 + x = 0 Wahrscheinlich habe ich mich verrechnet, aber im Prinzip hast du jetzt eine implizite Gleichung der Kurve. Wenn du Glück hast, lässt sie sich nach y auflösen. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1498 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Oktober, 2003 - 18:35: |
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Zur Envelope (Einhüllenden). Gesucht sind die Funktionen g(x) und h(x), sodass g(x) <= f(x) <= h(x) für alle a und alle x und für jedes x g(x) = f(x) für mindestens ein a1 und h(x) = f(x) für mindestens ein a2. g(x) und h(x) bilden also sozusagen einen Schlauch, in dem alle Funktionen f(x) drin liegen. Wähle x fest! Für welches a wird (ax + x²)/(1 - ax²) maximal/minimal? Leite nach a ab! f '(a) = [(1 - ax²)x - (ax + x²)(-x²)]/(1 - ax²)² = x[1 + x³]/(1 - ax²)² f '(a) wird (für x != 0) allerdings nicht Null, da a nicht im Zähler steht. Also gibt es keine Envelope ... oder ich habe mich wieder verrechnet ... :-/ |
Blizzard (Blizzard)
Junior Mitglied Benutzername: Blizzard
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Oktober, 2003 - 16:47: |
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Zu der Ortslinie: Unser Lehrer hat nur gesagt, wir sollen die bestimmen (das ist eine freiwillige Aufgabe über die Ferien, bei der man sich "Hüllkurve" und "Ortslinie" selbst erarbeiten soll, deshalb habe ich nciht gefragt, was für eine, da ich nicht wusste, was das ist). Im Buch wird als Beispiel aber die Ortslinie der Hochpunkte bzw. Extrempunkte bestimmt, deshalb werde ich das auch noch machen. Prinzip ist aber klar geworden, danke! Werde mich vielleicht morgen nohc mal zur Überprüfung melden. Danke noch mal ;) |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1502 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 07:32: |
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Merke gerade, dass ich Mist erzählt habe ... melde mich später wieder ... |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1504 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 20:56: |
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Hier der versprochene Nachtrag. Es sei (fa(x))aÎIR eine Schar von Funktionen. Gesucht sind g(x) := inf {fa(x) | aÎIR} und h(x) := sup {fa(x) | aÎIR} Dabei bezeichnet inf das "Infimum" und sup das "Supremum". Das Infimum (bzw. Supremum) einer Menge A (= inf A bzw. sup A) ist die größte untere (bzw. kleinste obere) Schranke von A. Dabei heißt eine Zahl z "untere Schranke" (bzw. "obere Schanke"), wenn z <= x (bzw. z >= x) für alle xÎA. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1505 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Oktober, 2003 - 21:02: |
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Weiter geht's. Hier ist fa(x) = (ax + x²)/(1 - ax²) Für festes (!) x gibt es keine größten und kleinsten Werte fa(x), wie oben schon gesehen. Aber trotzdem könnten Infimum und Supremum existieren. Tun sie aber für x != 0 nicht, denn fa(x) -> +/- oo für a -> 1/x². Also existieren die Hüllkurven nicht. Gruß Z. |