Autor |
Beitrag |
Tally (tally333)
Mitglied Benutzername: tally333
Nummer des Beitrags: 17 Registriert: 03-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. September, 2003 - 19:43: |
|
Hallo! Gegeben ist die Funktion f(x)=e^-x und die Tangente zu f(x) an einer beliebigen Stelle u mit y=e^-u * (1+u-x) Für welches u hat das Dreieck, gebildet aus der Tangente und den beiden Koordinatenachsen, maximalen Flächeninhalt? Komme nicht auf den Ansatz. |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 655 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 00:31: |
|
Hi, die Tangente mit den Achsen schneiden (einmal x = 0 bzw. y = 0 setzen). Es ergeben sich die Punkte X(1+u | 0) und Y( 0 | (1+u)*e^(-u) ), sinnvollerweise ist u > 0. Das ggst. Dreieck ist rechtwinkelig, dessen Fläche ist (1/2) mal dem x-Wert von X mal dem y-Wert von Y: A = (1/2)*(1+u)²*e^(-u) .. Max (Hauptbedingung) (1/2 kann f. d. Extr. weggelassen werden) f(u) = (1+u)²*e^(-u) f '(u) = 2*(1+u)*e^(-u) - (1+u)²*e^(-u) f '(u) = (1+u)*e^(-u)*(2-1-u) f '(u) = (1+u)*e^(-u)*(1-u) -> 0 1 - u = 0 u = 1 ===== f '(u) = (1-u²)*e^(-u) f ''(u) = -2u*e^(-u) - (1-u²)*e^(-u) f ''(u) = e^(-u)*(u²-2u-1) f ''(1) = (1/e)*(-2) < 0 Maximum! Der maximale Flächeninhalt beträgt also A = (1/2)*2²*(1/e) = 2/e E² Gr mYthos
|
|