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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2523 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 12:42: |
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Hi allerseits, Das Thema „Sehnenviereck“ soll mit einet Schlussaufgabe beendet werden, mit einer Aufgabe, die eine fulminante Rechenarbeit erfordert. Die Aufgabe bezieht sich auf den folgenden Satz: Werden in den Ecken A, B, C. D eines gegebenen Sehnenvierecks an den Umkreis k die Tangenten a, b, c, d gelegt, welche ein zu k gehörendes Tangentenviereck bestimmen, so schneiden sich die Diagonalen beider Vierecke je im gleichen Punkt U. Aufgabe A] Weise diesen Sachverhalt rechnerisch mittels Analytischer Geometrie nach. Wahl des Kreises k: x^2 + y ^2 = 2 y (Einheitskreis, der die x-Achse in O berührt) Punkt A im Ursprung O; Punkte B(x1/y1) , C(x2/y2), D(x3/y3), alle auf k. Man berechne die Koordinaten des Punktes U, ausgedrückt durch xi,yi ( i = 1,2,3 ). Hinweis: Benütze zur Erleichterung der Rechnung die Determinanten D1= x1 y2 – x2 y1 D2= x2 y3 – x3 y2 D3= x3 y1 – x1 y3 Mache auch von der Methode der zyklischen Vertauschung Gebrauch. Aufgabe B] Bearbeite das numerische Beispiel A(0,6 / 0,2), B(0,8 / 1,6), C(-1 / 1) MfG H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 857 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 18:21: |
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Hi, hier wird wohl wieder an mehreren Fronten gekämpft, da kommt man gar nicht mit. Leider habe ich diese Woche Sanitätsausblidung, daher habe ich mal schnell das numerische Beispiel berechnet! k: M ( 0 | 1 ) r = 1 A ( 0,6 | 0,2 ) B ( 0,8 | 1,6 ) C ( -1 | 1 ) D ( 0 | 0 ). Man sieht das alle Punkte auf dem Kreis liegen, sie bilden also ein Sehnenviereck! Die Diagonalen sind die Geraden durch AC und BD, sie lauten: AC: x + 2y = 1 BD: 2x - y = 0 Der Diagonalenschnittpunkt ist also U ( 0,2 | 0,4). Nun kommen wir zum Tangentenviereck, wir benötigen hierzu die 4 Tangenten in den Punkten. Zwei tangenetn können wir direkt ablesen: in C ( -1 | 1 ) T: x = -1 in D ( 0 | 0 ) T: y = 0 Nun wirds schwieriger, die Tangenten in A und B. Ansatz y = mx + b ! m ist ja grade die Steidunge in Punkt, der Kreisfunktion f(x) = 1 +- sqrt( 1 - x^2 )! + für B ; - für A. Wir müssen nur f' berechnen das sollte kein Problem sein. Man erhält schliesslich die Tangenten: in A ( 0,6 | 0,2 ) T: y = 3/4 x - 1/4 in B ( 0,8 | 1,6 ) T: y = -4/3 x + 8/3 Die Schnittpunkte dieser Geraden liefern uns die Eckpunkte des Tangentenvierecks A*B*C*D*: A*( -1 | 0 ) B*( 1/3 | 0 ) C*( 1,4 | 0,8 ) D*( -1 | 4 ). Die Diagonalen gehen hier durch AC und BD! AC = x - 3y = -1 BD = 3x + y = 1 Diese Diagonalen schneiden sich in U ( 0,2 | 0,4 ) !! q.e.d. Den allgemeinen Beweis kann ja wer anders machen mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2524 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 06:56: |
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Hi Ferdi, Du hast das numerische Beispiel richtig gelöst. Das Ergebnis kann für den allgemeinen Fall als Richtschnur und als Testfeld dienen. Bei der Ermittlung der Tangenten empfehle ich an Stelle der Differentiation die Polarisation der Kreisgleichung. Die Gleichung des Kreises ist x^2 + y^2 = 2 y, diejenige der Polaren bzw. Tangente x1 x + y1 y = 2 * ½ (y + y1) = y + y1 (x1/y1) ist der Berührungspunkt……………… Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2526 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 20:22: |
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Hi allerseits, Es ist an der Zeit, den allgemeinen Fall anzugehen. In getrennten Abläufen A] und B] werden die Diagonalen des Sehnenvierecks einerseits und des Tangentenvierecks andrerseits in U bzw. V zum Schnitt gebracht. In einem Abschnitt C] muss dann gezeigt werden, dass U und V identisch sind. zu A] Vorbemerkungen. Bezeichnungen: O: Ursprung; Ecken des Sehnenvierecks O, A, B, C. (Korrektur im Text der Aufgabenstellung nötig!) Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte A(x1/y1), B(x2/y2), C(x3/y3) alle auf dem Kreis x ^ 2 + y ^ 2 = 2 y liegen. Beim folgenden Rechengang wir davon nicht explizit Gebrauch gemacht. Wo immer es angebracht ist, setzen wir zweireihige Determinanten ein: D1= x1 y2 – x2 y1 D2= x2 y3 – x3 y2 D3= x3 y1 – x1 y3 Sie ergeben sich zwanglos bei der Verwendung der Regel von Cramer bei der Auflösung linearer Gleichungssysteme. Beginn der Rechnung Gleichungen der Geraden OB und AC; OB: y2 x - x2 y = 0 AC: (y1 - y3) x - (x1 – x3) y = D3. Schnittpunkt U: xU = - D3 / (D1+D2) * x2 yU = - D3 / (D1+D2) * y2 Setzt man hier die numerischen Werte ein, nämlich x2 = 0,8 ; y2 = 1,6 D1 = 0,8 ; D2 = 2,4 ; D3 = - 0,8 , so erhalten wir die bekannten Werte xU = ¼ 0,8 = 0,2 yU = ¼ 1,6 = 0,4 Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2529 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 20:58: |
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Hi allerseits Im zweiten Teil der Lösung, im Abschnitt B], wird der Schnittpunkt V der Diagonalen des Tangentenvierecks ermittelt; es geht um die Tangenten an den Kreis x^2 + y^2 = 2 y, verwendet wird die allgemeine Tangentengleichung x1 x + y1 y = 2 * ½ (y + y1) = y + y1 (x1/y1) ist der Berührungspunkt. Bezeichnungen: Tangente to in O (die x-Achse !), t1 in A , t2 in B, t3 in C. Schnittpunkte dieser Tangenten P : t3 mit to, Q: t0 mit t1 R: t1 mit t2 S: t2 mit t3 Wir verwenden wiederum die Determinanten D1, D2, D3 , nämlich D1= x1 y2 – x2 y1 D2= x2 y3 – x3 y2 D3= x3 y1 – x1 y3 Berechnung der Koordinaten von P und Q; sofort: xP = y3 / x3, yP = 0 ; xQ = y1 / x1, yQ = 0. Berechnung der Koordinaten von R: Tangente t1: x1 x + (y1 - 1) y = y1 Tangente t2: x1 x + (y2 - 1) y = y2 Auflösung mit der Regel von Cramer; Resultat: xR = ( y2 - y1 ) / (D1 + x2 - x1) yR = D1 / (D1+ x2 - x1) Diagonale RP, Gleichung (nach einigen Umformungen) : D1 x3 x + (D2 + D3 + D1 y3 ) y = D1 y3 Mit Hilfe zyklischer Vertauschungen erhalten wir sofort die Gleichung der andern Diagonalen QS. D2 x1 x + (D3 + D1 + D2 y1 ) y = D2 y1 Zwischenbemerkung: Setzt man hier die numerischen Werte ein, so erhält man die früher erwähnten Geradengleichungen. PR: 3x + y = 1 QS: - x + 3 y = 1 Der Schnittpunkt ist V(0,2 / 0,4), wie es sein soll ! Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2532 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 06:45: |
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Hi allerseits In der Fortsetzung des Abschnitts B] zur Lösung der Vierecksaufgabe VA 2 benötigen wir zusätzlich zu den Bezeichnungen für die Determinanten D1, D2, D3: D1= x1 y2 – x2 y1 D2= x2 y3 – x3 y2 D3= x3 y1 – x1 y3 den Term G = (D1^2 + D1 D3) x3 – (D2^2+ D2 D3) x1 + D1 D2 D3 Mit der Regel von Cramer berechnen wir nun den Schnittpunkt V der Geraden RP : D1 x3 x + (D2 + D3 + D1 y3 ) y = D1 y3 und QS : D2 x1 x + (D3 + D1 + D2 y1 ) y = D2 y1 Resultat: xV = [(D1^2 + D1 D3) y3 – (D2^2+ D2 D3) y1] / G yV = D1 D2 D 3 / G °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °° setzt man G = - 3,84 und die andern numerischen Werte von früher ein, so kommt wiederum xV = 0,2 und yV = 0,4 wie erwartet! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2534 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 20:15: |
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Hi allerseits, Es ist nicht so leicht, mit den bisherigen Resultaten rechnerisch nachzuweisen, dass die Punkte U und V zusammenfallen. Dazu sind andere Methoden einzusetzen, z.B. Linienkoordinaten. Davon sehe ich ab. Es ist aber interessant, ein wenig herumzurechnen und das Bisherige auszunützen. Wir setzen yU = yV, d.h.: - D3 / (D1+D2) * y2 = D1 D2 D 3 / G Daraus folgt: y2 G + D1 D2 (D1 + D2 ) = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° dazu kommen noch zwei analoge Gleichungen, welche man aus der vorhergehenden durch zyklische Vertauschungen gewinnt: y3 H + D2 D3 (D2 + D3 ) = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° y1 J + D3 D1 (D3 + D1 ) = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Pro memoria; es gilt: G = (D1^2 + D1 D3) x3 – (D2^2 + D2 D3) x1 + D1 D2 D3 H = (D2^2 + D2 D1) x1 – (D3^2 + D3 D1) x2 + D1 D2 D3 J = (D3^2 + D3 D2) x2 – (D1^2 + D1 D2) x3 + D1 D2 D3 Setze die numerischen Werte ein und freue Dich daran, dass alles stimmt! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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