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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2449
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 13:13: | 
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Hi allerseits,
Diese neue Vierecksaufgabe nimmt Bezug
auf die Aufgabe 113.
Gemäss dieser Aufgabe sind die vier Punkte
A(1/2/3),B(5/0/-1),C(3/4/-5),D(-1/6/-1)
die Ecken eines Quadrates, das in der Ebene
E mit der Gleichung
2x + 2y + z = 9 liegt.
a)
Man zeichne mit der y-Achse als Rissachse
den Grundriss G1: A´B´C´D´ und den Aufriss
G2: A´´B´´C´´D´´ des Quadrates.
Hilfe:
In der Zeichenebene liege das cartesische
Koordinatensystem X,Y vor, wobei die X-Achse
als Rissachse dient.
Darstellung: des Punktes A(1/2/3):
Grundriss A´: X = 2 (= y) , Y = -1 (= -x)
Aufriss A´´: X = 2 (= y) , Y = 3 (= z)
Kontrolle:
Die Punkte A´ und A´´ liegen auf einer
Senkrechten zur X-Achse, auf einem
so genannten Ordner(Ordnungslinie).
b)
Die Figuren G1, G2 sind schief affin, wobei
die Senkrechte zur Rissachse in der Zeichenebene
die Affinitätsrichtung ergibt.
Konstruiere die Affinitätsachse k.
Welches ist die Gleichung von k im (X,Y)-System ?
c)* (etwas schwieriger)
k ist zugleich Grund- und Aufriss einer Raumgeraden r,
der so genannten Koinzidenzgeraden der Ebene E .
Wie kann r stereometrisch ermittelt werden?
Gib für die Raumgerade r eine Parameterdarstellung an.
Viel Freude und Erfolg !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2450
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. August, 2003 - 09:13: |
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Hi allerseits,
Diese Aufgabe ist recht ungewohnt, daher stelle
ich eine mögliche Lösung selbst ins Board.
Ususgemäss ist [x,y,z] ein (rechtshändsches)
cartesisches Koordinatensystem des R3.
Das Zeichenblatt stelle die Grundrissebene,
d.h. die (x,y)-Ebene dar;
in ihr liegt auch die um die y Achse (Rissachse)
umgeklappte (gedrehte) Aufrissebene,
d.h. die (y,z)-Ebene,
sodass wie es mit einer „Doppelebene“ zu tun haben.
Man sagt kurz: x nach vorn positiv, y nach rechts positiv,
z, nach oben positiv.
In der Zeichenebene dominiert das erwähnte
(X,Y) –Koordinatensystem.
Die +X-Achse fällt mit der y-Achse zusammen
(gemeinsamer Nullpunkt).
Ein Punkt P(x/y/z) des Raumes induziert den Grundriss
P´, wobei X = y , Y = - x gilt;
für den Aufriss P´´ ist zu setzen: X = y, Y = z
Damit liegen
P´und P´´ auf einer Parallelen zur Y-Achse,
auf einem so genannten Ordner.
Für die gegebenen Ecken ABCD des Quadrates erhalten
wir somit
Grundrisse:
A´: X = 2 , Y = - 1
B´: X = 0 , Y = - 5
C´: X = 4 , Y = - 3
D´: X = 6 , Y = 1
Aufrisse:
A´´: X = 2 , Y = 3
B´´: X = 0 , Y = - 1
C´´: X = 4 , Y = - 5
D´´: X = 6 , Y = - 1
Es besteht eine schiefe Affinität zwischen
dem Grundriss und dem Aufriss des Quadrates.
Die Affinitätsrichtung ist durch die Richtung der
Ordner gegeben: Parallelität zur Y-Achse.
Ermittlung der Affinitätsachse k:
Der Punkt P mit X = 4 und Y = - 1 ist
als Schnittpunkt der entsprechenden Geraden
B´D´ und B´´D´´ ein Punkt von k.
Der Punkt Q mit X = 14/3 und Y = 1/3 ist
als Schnittpunkt der entsprechenden Geraden
A´D´ und A´´D´´ ein Punkt von k.
k ist durch die Punkte P und Q bestimmt,
Gleichung von k:
2 X – Y = 9
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Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2452
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. August, 2003 - 10:40: |
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Hi allerseits,
Lösung der Vierecksaufgabe 114 (Fortsetzung)
Welches ist die räumliche Bedeutung der
Affinitätsachse k ?
k erscheint zugleich als Grundriss und Aufriss
einer Geraden r, deren Lage genauer untersucht
werden soll; es ist also
k = r´= r ´´.
Falls Grund- und Aufriss eines Punktes P zusammenfallen,
wenn also P´ identisch P´´ gilt, dann liegt der Punkt P
in der so genannten Koinzidenzebene K (kappa).
K ist die Winkelhalbierende Ebene des zweiten und vierten
Quadranten; die Gleichung dieser Ebene lautet: z = - x.
Somit ist r eine Gerade dieser Ebene.
r liegt ferner auf der erstprojizierenden Ebene durch k,
deren Gleichung x + 2 y = 9 lautet (Gleichung von k).
Mithin ist r die Schnittgerade dieser beiden Ebenen,
von der wir sofort zwei Punkte angeben können, nämlich:
U(3/3/-3) und V(1/4/-1).
Eine Parameterdarstellung von r:
x = 3 – 2 t , y = 3 + t , z = -3 + 2t.
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Man kann r auch bestimmen als Schnittgerade der Ebene K
mit der Ebene E des Quadrates, deren Gleichung bekanntlich
so lautet:
2x + 2y + z = 9 .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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