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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2403 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 16:45: |
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Hi allerseits, Die Vierecksaufgabe 103 bezieht sich auf die perspektiv affine Abbildung einer Ebene auf sich, landläufig handelt es sich um eine schief-affine Abbildung aus der fortgeschrittenen Abbildungslehre. Die Aufgabe lautet: Das Parallelogramm A(3/-4),B(6/-8),C(7/-6),D(4/-2) soll durch eine perspektive Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und der Affinitätsrichtung, welche durch die Steigung m = - 3 der parallelen Affinitätsstrahlen gegeben ist, auf ein Rechteck A´ B´ C´ D´ abgebildet werden. a) Berechne die Koordinaten der Ecken des Rechtecks. b) Die Fläche des Parallelogramms sei F, diejenige des Rechtecks F*; ermittle das Verhältnis Q = F* / F. Beachte: es gibt zwei verschiedene Lösungen. Pro Memoria: zur p-Affinität. Jedem Punkt der einen Figur (A,B,…) entspricht ein Punkt der andern Figur (A´,B´…). Die Punkte der Affinitätsachse entsprechen sich selbst, sie ist eine Fixpunktgerade. Die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte sind parallel : A A´ parallel B B´ (parallele Affinitätsstrahlen); dies ergibt die sog. Affinitätsrichtung. ´ Die Abbildung ist geradentreu. Entsprechende Geraden g , g´ schneiden sich paarweise auf der Affinitätsachse. In der analytischen Geometrie wird als allgemeine Affinität eine lineare Transformation mit den Abbildungsleichungen x´ = a1 x + b1 y + c1 y´ = a2 x + b2 y + c2 bezeichnet. Diese Gleichungen können zur Lösung der vorliegenden Aufgabe herangezogen werden; setze sofort c1 = c2 = 0 (der Nullpunkt ist ja ein Fixpunkt). Ermittele die 4 Koeffizienten a1, b1 , a2 , b2, indem Du zuerst den Bildpunkt D´ von D suchst. Fordere dabei, dass die Geraden A´ D´ und C´ D´ orthogonal sind. Viel Erfolg bei der Lösung dieser interessanten Aufgabe ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2405 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. August, 2003 - 08:13: |
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Hi allerseits, die Vierecksaufgabe 103 soll reaktiviert werden. Zweck der Aufgabe. sie dient als Einführungsaufgabe für eine Folge weiterer Probleme der rechnerischen und konstruktiven Abbildungsgeometrie, ein Gebiet, das in den Schulen der näheren und weiteren Umgebung eindeutig zu kurz kommt. Es folgen ein paar nützliche Hinweise, die zur Lösung hinführen sollen: In der analytischen Geometrie wird als allgemeine Affinität eine lineare Transformation mit den Abbildungsleichungen x´ = a1 x + b1 y + c1 y´ = a2 x + b2 y + c2 bezeichnet. Diese Gleichungen können zur Lösung der vorliegenden Aufgabe herangezogen werden; setze sofort c1 = c2 = 0 (der Nullpunkt ist ja ein Fixpunkt). Ermittele die 4 Koeffizienten a1, b1 , a2 , b2, indem Du zuerst den Bildpunkt D´ von D suchst. Fordere dabei, dass die Geraden D´ A´ und D´ C´ orthogonal sind, nur so kann das Bildviereck zu einem Rechteck werden. Schneide zu diesem Zweck die Originalgeraden DA und DC mit der Affinitätsachse, also mit der x-Achse. Die Schnittpunkte seien U und V. Errichte über der Strecke UV als Durchmesser den Thaleskreis tau. Der Bildpunkte D´ von D ergibt sich dann als Schnittpunkt der Affinitätsrichtung durch D, das ist die Gerade mit der Steigung -3 durch D, mit dem Kreis tau (zwei Lösungen für D´ ). Mit dem Paar entsprechender Punkte D, D´ist die Affinität bestimmt. Du kannst konstruktiv weiterfahren (Aufg.104) oder rechnerisch. In den oben zitierten Abbildungsgleichungen lassen sich aus 4 linearen Gleichungen die Koeffizienten a1,b1,a2,b2 und dadurch die Abbildungsmatrix bestimmen. Welche Bedeutung hat die Determinante dieser Matrix? Viel Vergnügen bei der Lösung dieser interessanten Aufgabe ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 826 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 17:15: |
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Hi megamath, eine schöne Aufgabe! Ich habe mir in der Kaserne den Kopf zerbrochen! Bis mir gestern abend der Thaleskreis einfiel! Dann war alles schnell geregelt! Und jetzt sehe ich das du die LÖsung schon veröffentlicht hast..., naja hier meine Ergebnisse: Rechteck 1: A(1|2) , B(2|4), C(4|3) und D(3|1) Rechteck 2: A(2,5|-2,5), B(5,5|-5,5), C(6,25|-3,75) und D(3,75|-1,25) Flächeninhalt Parallelogramm: 10 FA Rechteck 1: 5 Q(1/2) Fa Rechteck 2: 6,25 Q(1/8) Matrix zu 1: Matrix zu 2: Die Determinante der Matrix gibt hier jeweils das Verhältniss der Flächeninhalte wieder! Jetzt muss ich wieder weg! Ciao! Bis freitag, dan versuch ich die anderen wenn sie noch nicht gelöst sind! mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2412 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 18:13: |
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Hi Ferdi, Du hast mir viele Mühen abgenommen,danke! Deine Lösung ist einwandfrei,und sie ergänzt meine Angaben aufs beste. Die von mir zwischen den Zeilen angegebenen Resultate sind unvollständig, insbesondere fehlen bei mir die Abbildungsgleichungen. Meine Sorge gilt den Belangen der Bundeswehr. Ich möchte nicht schuld daran sein, wenn ein Wehrmann wegen mathematischer Gedanken zu sehr abgelenkt ist und die Wehrtüchtigkeit darunter leidet.. MfG H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 827 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 19:12: |
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Hi, deine Sorge ist völlig unberechtigt! Ich kann ja soviel verraten: Ich bin ABC-Schutzsoldat und damit nicht an fordertser Front. Und was man als ABC-ist wissen muss, is doch eher überschaubar, und wenn die Grundausbildung herum ist, bin ich sowieso arbeitslos, da ich nicht mit einem Atomangriff auf Deutschland rechne und auch nicht ins Ausland komme, da ich nur meinen normalen Wehrdienst leiste(n muss). Daher kommt es mir gerade recht deine für "Nichtstudierte" doch manchmal recht anspruchsvollen Aufgaben mit zur "Arbeit" zu nehmen! mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2414 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 21:50: |
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Hi allerseits, Weil diese Vierecksaufgabe so famos gelöst wurde, gibt es eine Zugabe in Form einer Zusatzaufgabe. Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der beiden Matrizen. Welche Bedeutung haben diese für die vorliegenden Affinitäten ? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2415 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 08:45: |
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Hi allerseits, Es folgen ein paar Détails (Stationen) zum Lösungsgang für die Vierecksaufgabe 103. Gleichung des Affinitätsstrahls g durch D: g: y = - 3 x + 10 Schnittpunkt U (2,5 / 0) der Geraden CD mit der x-Achse Schnittpunkt V ( 5 / 0 ) der Geraden AD mit der x-Achse Gleichung des Thaleskreises k mit Durchmesser UV: k: 2 x^2 + 2 y ^2 – 15 x + 25 = 0 Schnittpunkte D´ und D´´ von g und k: D´(3/1), D´´(3,75 / - 1,25) Ansatz für die Abbildungsgleichungen: x´= a x + b y , y ´= c x + d y durch Einsetzen der Koordinaten von D´ bzw. D´´ entstehen die Abbildungsgleichungen I. x´= x + ½ y y´= - ½ y Determinante der Abbildungsmatrix M: det(M) = - 1/2 II. x´= x + 1/8 y y´= 5/8 y Determinante der Abbildungsmatrix N: det(N) = 5/8. Die Werte der Determinanten stimmen mit den Affinitätsverhältnissen der beiden Affinitäten überein; Zugleich erhalten wir damit die gesuchten Flächenverhältnisse. Eigenwerte und Eigenvektoren erscheinen später! @ Ferdi Korrektur einiger (weniger) Fehler in Deiner Antwort: Bildpunkt B´(5 / 5), nicht B(5,5|-5,5), Quotient Q bei der zweiten Lösung Q = 5/8, nicht Q(1/8) PS ich war neben anderem auch einmal im AC-Schutzdienst tätig………… Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2431 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 14:45: |
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Hi allerseits Bitte die Zusatzaufgabe nicht vergessen; sie lautet: Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der beiden Matrizen. Welche Bedeutung haben diese für die vorliegenden Affinitäten. MfG H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 833 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 16:35: |
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Hi, leider habe ich keine Zeit mich mit den Konstruktionsaufgaben zu befassen, hoffentlich macht dies jemand anderes! Eigenwert zu Matrix 1: L=1 und L=(1/2) Ein Eigenvektor zu L=1 ist (1,0) Ein Eigenvektor zu L=(1/2) ist (-1,1) Eigenwert zu Matrix 2: L=1 und L=(5/8) Ein Eigenvektor zu L=1 ist (1,0) Ein Eigenvektor zu L=(5/8) ist (1,-3) Hier kenne ich nur den Satz aus meiner alten Formelsammlung: Ist v ein Eigenvektor, so wird jede Gerade g mit Richtungsvektor v in eine zu g parallele Gerade g' agebildet; deshalb heißen die Richtungen der Eigenvektoren Fixrichtungen! Man erkennt hier immer den Eigenwert L=1 mit Eigenvektor v=(1,0) die x-Achse! Leider habe ich Wochenenddienst und muss nächste Woche ins Gelände, man sieht sich! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2433 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 18:13: |
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Hi allerseits, Als Ergänzung stelle ich noch meine Lösung der Zusatzaufgabe ins Board. Wir berechnen die Eigenwerte und Eigenvektoren der beiden Matrizen A und B. I. A= [[1, ½ ],[0, - ½ ]] ; in den eckigen Klammern stehen die Elemente der 1.u.2. Zeile. Charakteristische Gleichung für die Eigenwerte L: L^2 – ½ L – ½ = 0 Eigenwerte:L1 = 1, L2 = - ½ . L1 = 1: der zugehörige Eigenvektor v1 = {1,0} weist in Richtung der Affinitätsachse, welche mit der x-Achse übereinstimmt. L2 =- ½: der zugehörige Eigenvektor v2 = {1,-3} weist in Richtung der Affinitätsstrahlen, Steigung m = -3 II B= [[1, 1/8 ],[0, 5/8 ]] ; in den eckigen Klammern stehen die Elemente der 1.u.2. Zeile. Charakteristische Gleichung für die Eigenwerte L: (1-L) (5/8- L) = 0 Eigenwerte:L1 = 1, L2 = 5/8 . L1 = 1: der zugehörige Eigenvektor v1 = {1,0} weist in Richtung der Affinitätsachse, welche mit der x-Achse übereinstimmt. L2 = 5/8: der zugehörige Eigenvektor v2 = {1,-3} weist in Richtung der Affinitätsstrahlen, Steigung m = -3 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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