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Daemia
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 12:06: |
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1. Berechne die Determinante der folgenden Matrix: A = (1+cosx 1+sinx 1) (1-sinx 1+cosx 1) ( 1 1 1) , xeIR 2. Löse det(a)=0 für A = ( x -1 x) (-1 x x) ( 1 2 x) , xeIR |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 08:00: |
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Hi Daemia, Zu Deiner ersten Determinante D1: Sie hat die Gestalt: erste Zeile: a b 1 zweite Zeile: c d 1 dritte Zeile: 1 1 1 Mit a=1 + cos x ,b = 1 + sin x , c = 1 - sin x ,d = 1 + cosx Entwickelt man nach der ersten Zeile, so erhält man: a* (d -1) - b * (c - 1 ) + 1 * (c - d ) = ad - bc - a + b + c - d Ersetzt man a, b, c , d durch ihre Entsprechungen in x, so erhält man für die gesuchte Determinante D1: D1 = (1+cos x)^2 - (1+sin x)*(1-sin x) -(1+cos x)+(1+sin x) +(1 - sin x) - ( 1 + cos x) Es hebt sich einiges weg; übrig bleibt; D1 = sin^2 x + cos^2 x = 1. Ich möchte noch auf einen interessanten Aspekt der Aufgabe hinweisen. Die Determinante D1 ist eine Funktion von x: D1 = D1(x) Wir leiten D1(x) nach x ab und erhalten für D1 ' (x) Nach einem Lehrsatz eine Summe von drei Determinanten A(x),B(x),C(x) A(x) : in der ersten Zeile stehen die Ableitungen der Elemente der ersten Zeile von D1,nämlich - sinx cos x 0 die zweite und dritte Zeile sind gleich wie bei D1 B(x) : in der zweiten Zeile stehen die Ableitungen der zweiten Zeile von D1,nämlich: - cosx - sin x 0 die erste und dritte Zeilen sind gleich wie bei D1 C(x) :in der dritten Zeile stehen die Ableitungen der Elemente der dritten Zeile von D1,nämlich lauter Nullen ; daher ist der Wert dieser Determinante null ! die erste und zweite Zeile sind bezüglich D1 unverändert Als Ergebnis finden wir: D1'(x) = A(x) + B(x) + C(x) = 0 + 0 + 0 = 0 Die Ableitung ist für alle x null, daher muss D1(x) eine Konstante K sein Wir setzen in der Determinante D1 für x einen geeigneten Wert ein, z.B. x = 0 und finden sofort: K = 1, somit ist bestätigt, dass D1 für alle x-Werte eins ist. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 08:47: |
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Hi Daemia, Bei Deiner zweiten Determinante D2 kann aus der dritten Spalte sofort der Faktor x herausgezogen und vor eine dritte Determinante D3 gezogen werden: D2 = x * D3 erste Zeile von D3: x - 1 1 zweite Zeile von D3: -1 x 1 dritte Zeile von D3: 1 2 1 Entwickelt man D3 nach der ersten Zeile, so kommt: D3 = x * ( x - 2 ) + 1* ( - 1 - 1 ) + 1 * ( - 2 - x ) = = x ^ 2 - 3 x - 4 Nullstellen von D3 aus der quadratischen Gleichung x ^ 2 - 3 x - 4 = 0 Lösungen: x1 = 4 , x2 = - 1 Zusammen mit x3 = 0 haben wir alle Nullstellen der gegebenen Determinante D2. Kontrolle durch Einsetzen dieser Werte in die Determinante D2 ! Mit freundlichen Grüssen HG.R.Moser,megamath. |
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