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DJ
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 23:00: |
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Hallo! Kann jemand folgende Aufgabe lösen ? zu zeigen: Ist f:[0,1] => R(reelle Zahlen] eine stetige Funktion mit f(0)=f(1), so gibt es für jedes n aus den natürlichen Zahlen(ohne null) ein x aus [0,1] mit f(x)=f(x+(1/n)) Für eure Hilfe sehr dankbar, DJ |
Zaph (Zaph)
| Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 18:39: |
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Hi DJ, setze xi = i/n für i = 0, ..., n yi = f(xi) - f(xi-1) für i = 1, ..., n. Wenn ein yi = 0, dann bist du fertig, denn dann gilt f(xi-1) = f(xi-1 + 1/n). Seien also alle yi ungleich 0. Es können nicht alle yi > 0 sein, da sonst 0 < y1 + y2 + ... + yn = f(x1) - f(x0) + f(x2) - f(x1) + ... + f(xn) - f(xn-1) = f(xn) - f(x0) = f(1) - f(0) Widerspruch! Analog können nicht alle yi < 0 sein. Also gibt es ein i aus {1,...,n-1}, sodass yi und yi+1 unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Es sei z. B. yi < 0 und yi+1 > 0. (Der andere Fall geht analog.) Setze g(x) = f(x + 1/n) - f(x). g(x) ist eine stetige Funktion auf [0,1-1/n]. Es ist g(xi-1) = yi < 0 und g(xi) = yi+1 > 0. Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein x aus [xi-1,xi] mit g(x) = 0. Für dieses x gilt f(x + 1/n) = f(x). |
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