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Wolke
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 21:18: |
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Hallo Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter: Sei a_n > 0 und Summe[n=1,...,oo] a_n sei konvergent. Zeige: Die Reihe f(x)= Summe[n=1,...,oo] min( x/a_n , a_n/x) Konvergiert für alle x > 0 . Ist die Konvergenz gleichmäßig auf ]0,oo[, und ist f stetig auf ]0,oo[?
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Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 85 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 13:26: |
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Hi Wolke! Sei an konvergent mit Grenzwert A, an > 0 f.a. n aus N und x aus R>0 Setze: bn:=min{x/an;an/x} und p:=|A-x|/2 Sei e aus ]0,p[ Da an konv. ist, ext. ein N aus N mit |an-A|<e für alle n>N. Daraus folgt, daß A-e < an < A+e und insbs. bn < A+p gilt. Also gilt für alle n>N an¹x und somit bn < 1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x<A. Dann gilt für alle n>N bn = x/an < x/(A+p) < 1, da x,A,p > 0. Setze q:=x/(A+p) Dann gilt für alle n>N: |bn|1/n = (bn)1/n < bn = x/an < q. Damit gilt für fast alle n, daß |bn|1/n<q gilt und deswegen ist S¥ i=1bn konv. (vergleiche "Wurzelkriterium" für Reihen). Allerdings klappt das ganze nicht mehr, wenn an = x für alle n gilt. Dann wäre bn = 1 und die reihe div. Zum rest muß ich dich auf später vertrösten, Gruß Tyll
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Wolke
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 21:31: |
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hallo Tyll Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich habe deine Lösung jedoch ehrlich gesagt nicht so ganz verstanden. Warum konvergiert a_n gegen A? Ist a_n nicht eine Nullfolge, da doch die Reihe über die a_n konvergiert (tut mir leid, falls ich es in der Aufgabe zu missverständlich geschrieben habe)? Und wie kommst du auf das p ? Gruss Wolke |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 96 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 12:00: |
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Hi Wolke! Da hast du natürlich recht. Seien die Vor. wie oben und bn def. wie oben. Setze A:={n aus N| bn > x} und B:={n aus N| bn <= x}. Sei n aus A. Dann gilt: an > x, also bn = x/an < an (denn wäre x/an > an, so folgte x > (an)², Widerspruch!) Sei n aus B. Aus an <= x folgt offensichtlich bn = an/x <= an Also gilt für ganz N und wegen 0 < bn |bn| < an. Da S¥ i=1an konvergent ist, folgt dann nach dem Majorantenkriterium, daß auch S¥ n=1bn konvergent ist. Gruß Tyll
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Wolke
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 08:05: |
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Danke Tyll Ist ja garnicht so schlimm ,wie es aussieht. aber erst einmal daraufkommen! wolke |
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