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Lisa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 09:28: | 
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Hallo
Ich muß bei einer Aufgabe zeigen, daß
Summe[n=0,...,oo] (-1)^(n+1) * (sin x + n)/n^2
auf ganz R gleichmäßig, aber in keinem Punkt x aus R absolut konvergiert.
Das mit der gleichmäßigen Konvergenz habe ich ja noch hinbekommen, doch wie mache ich das mit der Absoluten?
Bitte helft mir
Lisa |
Marty (marty)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: marty
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 19:05: |
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Leibnizkriterium: Eine alternierende Folge -1^n * a(n) ist konvergent, wenn a(n) monoton fallend und eine Nullfolge ist.
Für die Monotonie erweitern wir auf reelle Zahlen:
a(n)=(sin (x) + n)/n² = sin (x)/n² + 1/n, neR+
a'(n)= -2*sin (x)/n^3 - 1/n²
Die erste Ableitung ist kleiner 0 f.f.a. n, a'(n)<0, da der 2. Term sicher negativ und für große n sicher größer als der 1.Term, damit ist die ganze Ableitung für genügend große n negativ => a(n) monoton fallend.
a(n) ist natürlich eine Nullfolge, da
a(n)=|(sin (x) + n)/n²| < (1+n)/n² = (1/n²+1/n)/1 gegen 0 strebt.
Hoffe, jetzt ist alles klar...
lg, MARTIN |
Lisa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 08:50: |
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Hallo Marty
Danke für deine schnelle Hilfe. Ich habs aber leider noch nicht verstanden.
Wie hast du damit gezeigt, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist? Kannst du mir noch einmal helfen?
Danke Lisa
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Marty (marty)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: marty
Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 09:16: |
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Hallo Lisa,
tut mir leid, da hab ich ungenau gelesen... oben habe ich gezeigt, dass die Reihe KONVERGENT ist für alle x, aber das Wörtchen "absolut" hab ich übersehen. Also, hier kommts:
Für die absolute Konvergenz müssen wir nur den Betrag, also
a(n)=|sin (x)+n/n²| betrachten. Man sieht eigentlich sofort, dass diese Reihe asymptotisch gleich zur harmonischen Reihe 1/n ist und daher divergent sein.
Zeigen kann man dass z.B. mit dem Grenzwertkriterium: Ist lim(v->inf) a(n)/b(n)=l e(0,inf), so sind entweder beide unendlichen Reihen Summe(a(n)) und Summe(b(n)) divergent oder konvergent.
Setze b(n)=1/n; a(n)=(-1+n)/n²
a(n)/b(n)=[(-1+n)/n²] / [1/n] = (-n+n²)/n² strebt für n->inf gegen 1.
Da b(n) divergent ist, muss es auch a(n) sein.
a(n) ist aber divergente Minorante für b(n):
(sin x + n)/n² < (-1+n)/n² , damit ist die Reihe nach dem Minorantenkriterium divergent.
Lg,
MARTI |
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