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lidia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 18:45: | 
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Wie beweißt man die Hölder -Ungleichung für Integrale?
Danke Lidia |
Oliver Preisner (thuriferar783)
Junior Mitglied
Benutzername: thuriferar783
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Mai, 2002 - 23:01: |
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Kurze Frage: Gehst du auch in die Mathe-Vorlesung von Prof. Otto an der Uni Bonn? |
lidia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 16:51: |
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nein ich studiere an ner Fernuni in Frankreich |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 20:31: |
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Hi lidia ,
Zu den Hölderschen Ungleichungen
(Otto Ludwig Hölder, deutscher Mathematiker,1859 – 1937)
Es gibt die von Dir erwähnte Integralform (J), welche
in groben Zügen so lautet :
int [f(t)*g(t)dt] <= int [{f(t)^ p dt] ^ (1/p) * int {g(t)}^ q dt] ^ (1/q)
wobei 1 / p + 1 / q = 1 vorausgesetzt wird ;
in allen Integranden sind Absolutstriche zu setzen ;
die Grenzen sind überall unten a, oben b.
Ein Beweis des Satzes in dieser Form findet man im Lehrbuch
Analysis 1 von Wolfgang Walter, Springer Verlag , p.309/310
Methode dieses Beweises:
aequidistante Zerlegungen der Integrale in Riemannsche Summen
und Zurückführung auf die Summenform (S) der Hölderschen
Ungleichung.
Diese Summenform (S) lautet:
sum[a(i) * b(i)] < = {sum [a(i)^p]}^1/p * {sum [bi)^q]}^1/q,
wiederum gilt 1 / p + 1 / q = 1
a(i),b(i) sind positiv
die Summationsindizes laufen je von 1 bis n.
Beweismethoden zu (S)
(I)
Lösung einer Extremalaufgabe mit n Variablen mit
Nebenbedingungen (Methode von Lagrange), so z.B.
bei F.Erwe, Differential-und Integralrechnung 1,
Hochschultaschenbücher BI ,Band 30/30a, p.353/354
Bibliographisches Institut Mannheim
(II)
Elementare Herleitung aus gewissen Ungkleichungen
Auf Deinen ausdrücklichen Wunsch werde ich auf die
zuletzt erwähnte Methode, welche wenig bekannt ist,
näher eingehen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 20:26: |
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Hi H.R. Moser,
die Herleitung der hölderschen Ungleichungen würde mich schon einfach aus dem Grunde interessieren, weil ich sie für den Beweis brauche, dass die Gammafunktion logarithmisch konvex ist.
MfG Niels |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Mai, 2002 - 21:10: |
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Hi allerseits,
auf mehrfachen Wunsch leite ich jetzt die
Höldersche Ungleichung für Summen her.
Der Schritt von der Summendarstellung zur
Integraldarstellunng ist durch das Zitat in
meiner letzten Arbeit zu diesem Thema
vorgezeichnet
Ausgangspunkt ist eine Ungleichung, die man
als kleine Hausaufgabe am besten selbst beweist.
Diese Ungleichung lautet:
x ^ t < 1 + t * ( x-1 ) ......................................(U)
wobei 0 <t> 0 , aber nicht 1
gilt.
Daraus leitet man ohne Mühe die Ungleichung ab:
x ^ t * y ^( 1- t ) < = t * x + (1 – t ) * y ……….(UU)
Gleichheit nur für x = y
Nun seien {an} und {bn} zwei Folgen positiver Zahlen,
ferner sei p + q = 1.
Dann gilt für 0<p<1:
sum [(an)^p* (bn)^q] < = [sum(an)] ^ p * [sum (bn)] ^ q ..(UUU)
Gleichheit nur dann, wenn die beiden Folgen proportional sind.
Beweis
Es sei 0<p<1 und
sum[an] = A^(1/p), analog sum[bn] = B ^(1/q)
Setze nun in der Ungleichung (UU) folgendes ein:
t = p , x = an /A^(1/p), , y = bn /B^(1/q);
es entsteht wegen p + q = 1,also q = 1 – p , aus (UU)
mit
x ^ p * y ^ (1 - p) < = p + ( 1 - p) * y endlich
{an ^ p / A} * { bn ^ q / B} < = p*an/A^(1/p) +q*bn/ B^(1/q)
Schreibt man diese Ungleichung der Reihe nach
für n = 1…N an und summiert, so kommt:
sum [(an)^p* (bn)^q] = A B * {p + q } = A * B
ersetz man darin A und B durch die Terme, durch welche
sie definiert sind, so erscheint (deus ex machina)
die Ungleichung (UUU)
In einer FORTSETZUNG leiten wir aus (UUU) ein Korollar her,
welches mit der üblichen Form der Ungleichung von
Hölder in der Summengestalt übereinstimmt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 08:30: |
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Hi allerseits,
In meinem letzten Beitrag zur Ungleichung von Hölder wurde
die Ungleichung (UUU) hergeleitet ; sie lautet:
sum [(an)^p* (bn)^q] < = [sum(an)] ^ p * [sum (bn)] ^ q ..(UUU)
mit p + q = 1.
Wir leiten nun daraus ein Korollar her; das geht so:
ersetze zunächst p durch 1 / P , q durch 1 / Q:
p + q = 1 geht über in die Beziehung
1 / P +1 / Q = 1 ;
aus (UUU) wird
sum[(an)^(1/P)(bn)^(1/Q)]<=[sum(an)] ^ (1/P)*[sum (bn)]^(1/Q)
In dieser Ungleichung ersetzen wir an durch an^P und
bn durch bn^Q ; es entsteht die Ungleichung von
Hölder in der Standardform:
sum[a(n) * b(n)] < = {sum [a(n)^P]}^1/P * {sum [bn)^Q]}^1/Q
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Beachte :
1/P + 1/Q = 1
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