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Tantor (tantor)
Neues Mitglied Benutzername: tantor
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 16:38: |
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Hallo, kann mir vielleicht jemand bei folgenden Aufgabe helfen ? 1. Zeigen Sie das die Gaußklammerfunktion in allen x Elemet Z unstetig ist. 2. Untersuchen Sie die gegebenen Funktionen auf Stewtigkeit in x=0 a) x = sin(1/x) für x ungleich 0 0 für x = 0 b) x= x sin(1/x) für x ungleich 0 0 für x = 0
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J
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 11:00: |
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Zu 1) Sei a element Z beliebig die funktion x->[x] ist stetig an der stelle a genau dann, wenn gilt: Für alle folgen an mit lim an = a gilt: lim [an] = [a] sei nun an definiert durch an:= a+1/(n+1) es ist klar dasss gilt: lim an = a da für alle n gilt [a+1/(n+1)] = a folgt: lim [an] = a Sei nun bn definiert durch bn:= a-1/(n+1) es gilt natrlich lim bn = a da andererseits für alle n gilt: [bn] = a-1 folt: lim [bn] = a-1 an und bn haben also verschiedene Grenzwerte 0> de gaussklammerfunktion ist an der stelle a nicht stetig! Zu 2) Hier ist anstelle eines formalen beweises eine anschauliche beschreibung sinnvoller: sei an die Folge aller positiven maximumstellen, von irgendeiner stelle an, fallend geordnet. (d.h. sin(1/x) nimmt für alle x aus dieser Folge ein lokales maximum an) dann gilt: lim an = 0 und lim sin(1/an) = 1 sei bn die folge aller positiven minimumstellen, von irgendeiner stelle an, fallend geordnet. (d.h. sin(1/x) nimmt für alle x aus dieser folge ein lokales minimum an) dann gilt: lim bn = 0 und lim sin(1/bn) = -1 Daraus folt, dass die funktion x->sin(1/x) an der stelle 0 nicht stetig ist! zu 3 Am besten mit der beknannten epsilon-delta-definition der stetigkeit: wegen sin x <= 1 für alle x gilt: |x*sin(x)| <= |x| sei nun epsilon > 0. sei ferner delta = epsilon für alle x aus der definitionsmenge von f gilt: wenn x> epsilon gilt, so gilt auch x*sin(1/x) <= x*1 <=x <epsilon = delta. wzbw. (hier steht <= für 'kleiner oder gleich') Gruß: J
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