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Beitrag |
    
Toddy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 17:32: | 
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Hallo
Ich stecke bei folgender Aufgabe fest:
a) Bestimmen sie die Koeffizienten der Taylorreihe Summe von 0 bis 00 (f^(n) /n!) * x^n für die Funktion f: R-> R, f(x)= e^x * cos x (x Element R).Welchen Konvergenzradius hat die Taylorreihe?
b) Bestimmen sie mit Hilfe bekannter Reihen eine Potenzreihenentwicklung der Funktion f aus a) und vergleichen sie das Ergebnis mit der Taylorreihe aus a).
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orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 09:01: |
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Toddy :
Am schnellsten kommt man wohl auf dem
"Umweg über das Komplexe" zum Ziel:
e^x*cos(x) ist der Realteil von e^x*e^(ix),
also von
exp((1+i)x)
= sum[n=0..oo](2^(n/2)/n!)*exp(i*n*pi/4)*x^n.
Nach de Moivre ist
exp(i*n*pi/4) = cos(n*pi/4) + i*sin(n*pi/4).
Somit ist
e^x*cos(x)
= sum[n=0..oo](2^(n/2)/n!)cos(n*pi/4)*x^n
mfg
Orion
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Toddy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 16:56: |
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Hallo Orion
Danke für deine Antwort,ich habe versucht die Lösung nachzuvollziehen, verstehe allerdings nicht wie du von exp((1+i)x) auf die darunter stehende Summe kommst.
Und noch eine Verständnissfrage: Kann ich den Umweg über das Komplexe nur nehmen, da der Kosinus der Realteil ist (denn meine f ist ja nur in R definiert).
Toddy |
orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 07:13: |
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Hallo :
Die Exponentialreihe
exp(z) = sum[n=0..oo](1/n!)z^n
konvergiert für alle z in C. Setze z = (1+i)x
und beachte, dass
1+i = sqrt(2)*exp(i*pi/4)
==> (1+i)^n = 2^(n/2)*exp(n*i*pi/4)
Es gilt e^x*cos(x) = Re{e^(1+i)*x} ,
weil x in |R.
mfg
Orion |
Toddy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 20:32: |
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Es hat Klick gemacht, ich habs verstanden.
Vielen, vielen Dank Orion
Toddy |
