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Lisa-Ann (lisaann)
Neues Mitglied Benutzername: lisaann
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 10:49: |
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Bitte helft mir, weiß gar nicht wie ich so etwas anfangen soll: 1.Zeigen Sie, dass die Folge der differenzierbaren Funktionen fn(x)=Wurzel aus (1/n + x²) neN, gleichmässig auf R gegen die Betragsfunktion IxI konvergiert. 2.Seien fn(x) = x + 1/n, f(x)=x für neN,xeR. Offenbar konvergieren fn->f und fn²->f² punktweise auf R. Untersuchen Sie, ob auch die gleichmässige Konvergenz auf R vorliegt. |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 543 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 15:24: |
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Lisa-Ann, Zunächst muss man sich die Definition klar machen: Die Aussage " fn(x)®f(x) gleichmässig auf R " besagt ausführlich : Zu jedem e>0 gibt es ein N€N, sodass für alle n >= N und alle x € R gilt : | fn (x)-f(x) | < e. 1. Wegen |x| = sqrt(x2) gilt |fn(x)-f(x)| = (1/n)/[sqrt(1/n+x2) + |x|] < (1/n)/sqrt(1/n) = 1/sqrt(1/n). (rechne nach !) Wähle nun N := [1/e2] + 1 ([ ] := Gaussklammer). Dieses N ist unabhängig von x, und es gilt : n > N ==> 1/sqrt(n) < e. 2. Man sieht leicht: limn->¥fn(x) = f(x) gleichmässig auf R, denn |fn(x)-f(x)| = 1/n. Daher auch : limn->¥(fn(x))2 = (f(x))2. Dies geschieht aber nicht gleichmässig auf R. Denn es ist z.B. für x>0: |(fn(x)}2-x2| = 2x/n + 1/n2 > 2x/n. Zu jedem N gibt es nun x€R mit folgender Eigenschaft: Es existiert ein n > N, sodass (z.B.) 2x/n >= 1 . Wähle etwa n = 2N, dann leistet jedes x>N das Verlangte. Bemerkung: Man muss sich zunächst klar machen, was die Aussage "fn(x) ®f(x) nicht gleichmässig auf R" bedeutet (also die Negation von "gleichmässig"), nämlich: "Es gibt ein e>0, sodass zu jedem N€N ein x€R mit folgender Eigenschaft existiert : Es gibt ein n>N, sodass |fn(x)-f(x)| >= e". Oben war dieses e = 1. Zugegeben, schwierige Begriffe für Anfänger.
mfG Orion
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Lisa-Ann (lisaann)
Neues Mitglied Benutzername: lisaann
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 19:49: |
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Danke erstmal.Hab eigentlich alles verstanden.Aber was ist eine Gausklammer?!? |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 544 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 07:19: |
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Lisa-Ann, Für x€R ist [x]:= grösste ganze Zahl £x, also [x]£x<[x]+1 & [x] € Z. Der Mann hiess übrigens Gauss. mfG Orion
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