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emil (emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 14:19: |
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Hallo, Kann mir jemand bei der Lösung der folgenden Aufgabe helfen? Ich komme auf keinen Ansatz. Die Aufgabe lautet: Gegeben werden die Punkte L(0/0/a) mit a > 0 und P(3/6/0), sowie die Kugel x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – 2 a x = 0. Man bestimme a so, dass die Schlagschattengrenze der Kugel auf der (x,y)-Ebene bei Zentralbeleuchtung von L aus durch P geht. Vielen Dank zum Voraus Emil
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2008 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 17:13: |
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Hi Emil, I. Vorbemerkungen Die Kugel hat, wie man leicht feststellen kann, den Mittelpunkt M(a/0/0) und den Radius r = a. Die von L aus gehenden Lichtstahlen, welche die Kugel berühren, sind die Mantellinien eines Rotationskegels mit der Spitze L. Die Gerade LM ist die Achse dieses Kegels. Der Kegelfläche selbst spielt also die Rolle eines Berührungskegels bezüglich der Kugel. Die in der Aufgabe erwähnte Schlagschattengrenze erscheint als Schnittkurve c diese Kegels mit der Schatten auffangenden Ebene, im vorliegenden Fall ist das die (x,y)-Ebene mit der Gleichung z = 0. Die Parallelebene durch L zur Schnittebene z = 0 mit der Gleichung z = a berührt die Kugel, da ja die Beziehungen r = a und zM = 0 gelten. Somit ist die Schnittkurve eine Parabel. II.Lösung Bei der Lösung der Aufgabe werden wir von der Gleichung dieser Parabel Gebrauch machen. Zunächst stellen wir eine Parametergleichung einer Kugeltangente g auf, welche durch L geht. t sei der Parameter; g geht durch L, wenn wir ansetzen x = u t , y = v t , z = a + w t………………………………….(1) Der Richtungsvektor {u;v;w} soll ein Einheitsvektor sein (Normierung) ; es gelte also: u^2 + v^2 + w^2 = 1…………………………………………(2) Für den Schnittpunkt S von g mit der (x,y)-Ebene z = 0 gilt t = - a/w, daraus folgt : xS = - au / w , yS = - av / w ………………………………..(3) Wir merken uns: S ist ein allgemeiner Punkt der gesuchten Parabel, also der Schlagschattengrenze c, wenn wir noch fordern, dass g die Kugel berührt. Für die Berührbedingung verwenden wir die so genannte Diskriminantenmethode. Das geht so: Wir setzen die Werte aus (1) in die Kugelgleichung ein und ordnen ; es kommt (u^2+v^2+w^2) t^2 +2(w-u) a t + a^2 = 0 Wir werden belohnt: wegen der vorsorglichen Normierung ist der Koeffizient von t^2 eins. Wir haben die einfache quadratische Gleichung in t: t^2 +2(w-u) a t + a^2 = 0 Wegen der Berührungsbedingung setzen wir die Diskriminante D dieser Gleichung null. Wir erhalten D = 4 a^2 * [(w-u)^2-1] = 0, also w ^ 2 - 2 w u + u^2 – 1 = 0; wir ersetzen darin w^2 + u^2 – 1 durch - v^2: somit kommt: v^2 + 2 w u = 0……………………………. ……………(4) Setzen wir in diese Gleichung die Koordinaten xS und yS aus (3) ein, so erhalten wir nach kurzer Rechnung als Gleichung der gesuchten Parabel etwas Wohlvertrautes, nämlich die Gleichung y^2 = 2 a x………………………………………………..(5) Dass der Parameter der Parabel gerade a = r ist, hätte auf Grund des Satzes von Dandelin vorausgesagt werden können. Die gegebene Kugel spielt die Rolle der (einzigen) Dandelinkugel beim parabolischen Schnitt des Berührungskegels. Schluss: Da die Parabel durch P(3/6) gehen muss, erhalten wir sofort die Lösung der Aufgabe: a = 6 °°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2009 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 18:13: |
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Hi emil, Statt die Diskriminantenmethode anzuwenden, kann man auch so vorgehen: Wir fordern, dass der Abstand des Mittelpunktes M der Kugel von der Geraden g den Abstand r = a habe. Dann ist g eine Kugeltangente, wie es sein muss. Ausführung Zuerst die Daten: M(a / 0 / 0), g geht durch L(0 / 0 / a) Daraus entspringt der Verbindungsvektor q = ML = {- a ;0 ; a}. Ein Richtungsvektor von g ist der Vektor p ={u;v;w} mit u^2 + v^2 + w^2 = 1 als Normierung; p entspricht dem in meiner letzten Arbeit angesetzten Richtungsvektor. Abstandsformel d = Abstand (Punkt M , Gerade g): d = abs(p x q) / abs (p) Im Zähler steht der Absolutbetrag des Vektorproduktes p x q = {av; -aw-au ; av}, im Nenner steht der Absolutbetrag des Vektors q ; dieser ist wegen der Normierung gerade 1. (beachte 1 ist nach wie vor ungerade!) Die Bedingung d = a, d.h. auch d^2 = a^2 führt auf die Gleichung 2 u v + v^2 = 0 Das ist die in der vorhergehenden Arbeit aufgestellte Gleichung (4) ; ein Bravo ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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emil (emil_k)
Junior Mitglied Benutzername: emil_k
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 02-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:20: |
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Hallo megamath, Deine Antworten haben mir sehr geholfen; Ich habe viel profitiert und ich konnte Deine Lösungsschritte sehr gut nachvollziehen. Schwierigkeiten hatte ich nur mit der Dandelinkugel. Warum spielt diese Kugel beim Problem der Zentralbeleuchtung einer gegebenen Kugel eine Rolle, und welches ist diese Rolle? Darf ich Dich um nähere Erläuterungen bitten? Mir freundlichen Grüssen Emil K.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2010 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 16:20: |
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Hi Emil, Ein paar Worte zu den Dandelinkugeln. Wird ein Rotationskegel von einer Ebene E geschnitten, welche nicht durch die Kegelspitze S geht, so entsteht als Schnittkurve c bekanntlich eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nach der Stellung der Schnittebene. Sei E* die Parallelebene zu E durch S Wenn E* mit dem Kegel ausser S keinen Punkt gemeinsam hat, ist c eine Ellipse. Ist E* eine Tangentialebene des Kegels, so ist c eine Parabel. Schneidet E* den Kegel in zwei Mantellinien, so ist c eine Hyperbel. Unter einer Dandelinkugel (DK) versteht man eine Kugel, die sowohl die Schnittebene als auch die Kegelfläche berührt. Der Berührungspunkt einer DK mit E ergibt einen Brennpunkt F des Kegelschnitts, die Schnittgerade von E mit der Ebene des Berührkreises der DK mit dem Kegel ergibt die zu F gehörende Leitgerade. Beim elliptischen und hyperbolischen Schnitt gibt es je zwei Dandelinkugeln, beim parabolischen Schnitt gibt es nur eine DK. Beim vorliegenden Fall liegt ein Parabelschnitt des Kegels vor, der durch die von L ausgehenden Lichtstrahlen gebildet wird, welche die gegebene Kugel k berühren. L(0/0/a) ist somit die Kegelspitze S. Der halbe Oeffnungswinkel dieses Kegels ist alpha =45°,wie man leicht herausfindet. Die (x,y)-Ebene ist die Schnittebene E, Die Parallelebene E* zu E durch L berührt den Kegel in der Mantellinie LU mit U(a/0/a), wie leicht einzusehen ist. Die entsprechende Dandelinkugel hat den Mittelpunkt N(½a /0 /½a) und den Radius a/2, entgegen meinen Ausführungen in der ersten Arbeit. Für den Brennpunkt F erhalten wir xF = ½ a , y F = zF = 0. Wir schliessen anhand einer Skizze (Schnitt mit der (x,z)-Ebene), dass der Parameter p der Parabel als Abstand des Brennpunktes F von der Leitgeraden p = a beträgt, in Uebereinstimmung mit meiner früheren Arbeit. Diese Ergänzungen sollten wohl genügen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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