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Rolf S.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 14:33: |
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Hallo, Ich bräuchte Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe Man berechne (von Hand) das bestimmte Integral I mit f(x) =1/(1+cosx)^2 als Integrand, untere Grenze – 2Pi/3,obere Grenze 2Pi/3. Ich finde keinen Ansatz, der zur Berechnung einer Stammfunktion F(x) führt. Für jede Hilfe dankt im voraus Rolf S. |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 15:58: |
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Hi Rolf Vorgängig der Lösung Deines Integrals berechne ich ein Integral H(x), das noch hilfreich sein wird, nämlich das unbestimmte Integral H(x) = int [ 1/(cos x)^4 * dx ] ; wir integrieren partiell mit u = 1/ (cos x)^2 und v´= 1/ (cos x)^2 ; dies ergibt H(x) = int [ 1/(cos x)^2 * 1/(cos x)^2 dx ] = = tan x * 1 / (cos x)^2 – int [2* tanx * sin x / (cos x) ^3 * dx ] = tan x / (cos x)^2 – 2 * int [(sin x)^2 / (cos x) ^ 4 * dx ] = tan x / (cos x)^2 – 2 * int [{1 – (cosx)^2)} / (cos x) ^ 4 * dx] auf der rechten Seite entsteht nochmals H ; mithin: H = tan x / (cos x)^2 – 2 * H + 2 * int [{1 / (cos x) ^ 2 * dx] H = tan x / (cos x)^2 – 2 * H + 2 * tan x; daraus berechnen wir H: H = 1 / 3 * sin x / (cos x )^ 3 + 2 / 3 * tanx ………………………………..(1) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Nun ermitteln wir das unbestimmte Integral F(x) = int [1/(1 + cos x)^2*dx ], indem wir von der goniometrischen Formel ( 1 + cos x ) = 2* [cos (x/2)] ^2 Gebrauch machen.; es kommt: F = ¼ * int [1 / (cos x/2) ^ 4 * dx ] , mit der Substitution x/2 = z , dx = 2 dz entsteht: F = ½ * int [1 / (cos z) ^ 4 * dz, mit (1) kommt, nach erfolgter Rücksubstitution: F = 1 / 6 * sin (x/2) / (cos(x/2) ) ^ 3 + 1 / 3 * tan(x/2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Beachte, dass der Graph des Integranden f(x) bezüglich der y-Achse symmetrisch ist Es genügt daher, das bestimmte Integral in den Grenzen x = 0 bis x = 2*Pi /3 zu berechnen; das Resultat ist dann ½ I. Für I erhalten wir das Resultat I = 1/3* ½ wurzel(3 /(1/8) + 2/3 * wurzel(3) = 2* wurzel (3) °°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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