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Barbara (Nell)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 18:15: | 
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Hallo
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen???
Die Funktion f: R R sei stetig, und für a Element aus r seien
Aa := { x Element R: f(x) < a},
Ba := {x Element R : f (x)< = a}.
Zeigen Sie:
a) Aa ist offen und Ba ist abgeschlossen.
b) Die Menge der Berührungspunkte von Aa ist Teilmenge von Ba.
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass Aa Ungleich Ba seien kann.
Ich habe a) mit dem Satz über die Urbilder von offenen, abgeschlossenen Mengen aus meinem Mathebuch probiert, allerdings hatten wir diesen noch nicht in der Vorlesung. Wie kann ich die Aufgabe sonst noch lösen? Und besonders ist Aa wirklich nicht gleich Ba??? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 13:45: |
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Ob Aa = Ba:
Betrachte f(x) = x. Dann ist Aa = (-oo , a) offen und Ba = (-oo,a] abgeschlossen. Also (a aus Ba) aber nicht (a aus Aa).
Wieso ist Aa offen?
Sei x0 aus Aa. Zeige, dass es ein d gibt, sodass U_d(x0) Teilmenge von Aa.
Es ist f(x0) < a. Setze e := a - f(x0). Dann ist e > 0. Da f stetig ist, existiert ein d > 0 mit
|f(x) - f(x0)| < e
für alle x aus U_d(x0). Es gilt dann insbesondere
f(x) - f(x0) < e,
also
f(x) < f(x0) + e = a,
also x aus Aa.
Somit U_d(x0) Teilmenge Aa. Fertig!
Wieso ist Ba abgeschlossen?
Wisst ihr, dass das Komplement offener Mengen abgeschlossenen ist? Dann betrachte
Ca = {x aus R: f(x) > a}
und zeige, dass dies offen ist.
Soweit klar? |
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