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Curti
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 14:18: |
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Hallo, Hier nochmals eine Aufgabe über Enveloppen. Welche Gleichung hat die Umhüllende der Kurvenschar (x-c)^2 + y^2 – c^2 / 2 = 0 Der Scharparameter c durchläuft alle reellen Zahlen Vielen Dank für jede Hilfe Curti |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 16:21: |
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Hi Curti, Die gegebene Schar ist eine Kreisschar, Mittelpunkt M mit xM = c , yM = 0 Radius r = 1 /wurzel(2 )* abs ( c ) . Wir leiten F(x,y,c) = (x – c ) ^ 2 + y ^ 2 – ½ * c^2 partiell nach c ab und setzen diese Ableitung null. Es entsteht die Gleichung - 2 * ( x – c ) – c = 0, daraus folgt c = 2 x. Dies setzen wir in F(x,y,c) = 0 ein ; es bleibt eine Relation übrig, in welcher der Parameter c nicht mehr vorkommt, nämlich: (x – 2 x ) ^ 2 + y ^ 2 - 2 x ^2 = 0 Daraus entsteht : (y-x) * ( y + x ) = 0 Das ist die Gleichung des Geradenpaares y = x und y = - x. °°°°°°°°°°°°°°°°° Resultat : eine degenerierte Hyperbel, reduziert auf ihre Asymptoten. Wir berechnen noch die Berührungspunkte B der Enveloppe mit den Kreisen der Schar aus der Gleichung ( x - c ) ^ 2 + ( +- x ) ^ 2 - ½ * c ^ 2 = 0 ; es kommt: B1( ½ c / ½ c) , B2( ½ c / - ½ c ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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