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Biene
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 20:40: |
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Hallo. Ich brauche dringend Eure Hilfe. Zwei Irrfahrer bewegen sich voneinander unabhängig auf dem Gitter Z2. Irrfahrer A geht in unabhängigen Schritten jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach Norden oder Osten, Irrfahrer B geht entsprechend zufällig nach Süden oder Westen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich die beiden Irrfahrer zum Zeitpunkt n, wenn sich zum Zeitpunkt 0 Irrfahrer A in der Position (0,0) und Irrfahrer B in der Position (n, n) befindet. Vielen Dank im Voraus. Biene |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 08:12: |
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Hi Biene, Die hier erarbeitete Lösung einer analogen Aufgabe hilft Dir sicher weiter im Sinne einer Hilfe zur Selbsthilfe. Mit b(m,n) werde der Binomialkoeffizient „m tief n“ bezeichnet; wir merken noch an, dass b(m,n) = b(m,m-n) gilt. Vorgelegt ist ein n x n - Strassensystem. Um unter den genannten Bedingungen vom Nullpunkt O(0,0) nach dem Punkt P(m,n) zu gelangen, gibt es bekanntlich b(n+m,n) = b(n+m,m) Möglichkeiten. Ist P = Q(n,n) gegeben, so ist die Anzahl dieser Möglichkeiten somit b(2n,n). A startet in O, B in Q. Ein allfälliger Treffpunkt liegt notwendig auf der Hauptdiagonalen des Quadrates, welche die Punkte P(x,n-x) enthält. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit p1 ,dass A genau im Punkt P(x,n-x) eintrifft; es gilt: p1 = b(n,x) / 2^n,denn es gibt 2^n mögliche Fälle, davon sind b(x+n-x,x) = b(n,x) = b(n,n-x) günstig Für B ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit, im Punkt P einzutreffen Die Wahrscheinlichkeit p, dass sich A und B in P treffen, ist gleich dem Produkt p1*p2,also p = p1*p2= [b(n,x)^2] * 1 /{2^(2n)} °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Wir berechnen noch die Wahrscheinlichkeit S, dass A und B sich überhaupt begegnen. S ist die Summe aller p-Werte von vorhin, summiert über x von x = 0 bis x= n Mit einer bekannten Formel für die Quadratsumme der Binomialkoeffizienten sum[b(n., x) ^ 2] = b(2n, n) ,Summation von x = 0 bis x = n kommt: S = b (2n,n)* 1 / {2^(2n)} °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath. |
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