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Andrea Esser (Dree81)
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 16:08: |
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Wie beweise ich mit vollständiger Induktion folgende Aufgabe ? für alle n E N gilt: 7|8(hoch n)-1 Bitte helft mir, ich verzweifel! Danke schon mal im voraus |
Ingo (Ingo)
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 16:44: |
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n=1 : 81-1=7 und 7 teilt 7 n->n+1 8n+1-1 = 8*8n-1 = 8*(8n-1)+7 beide Summanden sind durch 7 teilbar, also auch die Summe selbst. |
Andreas
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 16:54: |
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Hi Andrea! Hab ich die Fragestellung richtig verstanden? 8n-1 ist immer durch 7 ohne Rest teilbar? OK Induktionsanfang: Gilt die Aussage für n=1? 81-1=7, 7 ist durch 7 teilbar. Für n=1 ist die Ausssage richtig. Induktionsschritt: Wir setzen voraus, dass die Aussage für n=k richtig ist: 7s=8k-1 ,s E N Das Gleichsetzen mit 7s bedeutet, dass der Term das Siebenfache einer natürlichen Zahl, und somit ohne Rest durch sieben teilbar ist. 8k+1-1=8*8k-1-7+7 =8*8k-8+7=8*(8k-1)+7 Für 8k-1 setze ich jetzt 7s ein: =8*7s+7=56s+7=7*(8s+1) Aus der Tatsache, dass man aus diesem Term 7 ausklammern kann, kann man auf seine Teilbarkeit durch 7 schließen. Somit ist 8n-1 durch 7 teilbar. q.e.d Ciao, Andreas |
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