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Beitrag |
    
Mh
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 11:06: | 
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C:\temp\Mh\arctan
 formel.jpg |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 10:17: |
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Hi Mh ,
Hilfe zur Selbsthilfe :
1.
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
erster Ordnung
y ' = 2 n / [ x * (1 + x ^ 2) ] * y
Zusammenhang mit der gestellten Aufgabe ?
2.
Dasselbe für
y ' = [1 + x ^ 2 - ( 1 - x ^2 ) * y ] / [ x * ( 1+ x ^2) ]
3.
Beachte:
arc sinx = x + 1/2*x^3/3 + 1/2*3/4*x^5/5 + .....
= sum [(2n!) /{2^(2n)*n!^2*(2 n + 1 )} * x ^(2n+1)], n = 0..infinity
abs(x) < = 1.
4.
Die rechte Seite der mirakulösen Beziehung stellt
f(x) = arc sin [x / wurzel(1+x^2)] dar
5.
Zeige
f ' (x) = 1 / (1 + x ^ 2)
6.
usw.
Anmerkung
Wähle x = 1
Es entsteht die mindestens im Klub der Freunde der Zahl Pi
Wohlbekannte Reihe für ½ Pi:
Pi/2 = sum [ 2^n*(n!)^2 / ( 2 n + 1 ) ! ], n = 0 .. unendlich.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Mh
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. November, 2001 - 14:53: |
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Hallo.
Sorry, anscheinend hat's mit den Bildern und dem Text nicht so geklappt. (Ich sehe nämlich nur das Bild von der Formel ohne jeglichen Text. Ihr nicht?)
Auf jeden Fall bin ich auf der Suche nach einem Beweis zu der obigen Formel.
Vielleicht hat mir der/die liebe H.R.Moser den schon geliefert, aber ich muß zugeben, ich versteh's noch nicht.
Noch eine Frage zum Klub der Freunde der Zahl Pi: Ich will mit der mirakulösen arctan-Reihe nämlich tatsächlich Pi berechnen. Wo kann ich mehr darüber erfahren?
Vielen Dank ihr Lieben!
Mh |
Mh
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. November, 2001 - 10:24: |
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Hallo, da bin ich wieder.
Ich hab' meine Hausaufgaben gemacht: *schmunzel*
1. y' = 2n / [x · (1+x²)] · y
Durch Trennen der Variablen erhalte ich y = C · [x²/(1+x²)]^n,
dieser Ausdruck taucht in der mirakulösen Reihe auch auf.
2. y' = [(1+x²) - (1-x²)·y] / [x · (1+x²)]
Ich löse eine Differentialgleichung für einen integrierenden Faktor (wieder durch Trennen der Variablen), mit dem ich ein vollständiges Differential erhalte, das integriert werden kann.
Ergebnis: y = (C + arctan x) · (1+x²) / x
3. arcsin x = x + 1/2·x3 + 1/2·3/4·x5 + ...
Ich kenne diese Formel, sie kann durch Integration der binomischen Reihe für (1-x²)-1/2 hergeleitet werden.
Aber ich sehe noch nicht, was ich dabei beachten soll!?
4. arctanmirakulös x = f(x) = arcsin [x / Wurzel(1+x²)]
Warum?
5. f'(x) = 1/(1+x²)
Klar. Kettenregel & Co.
6. usw.
=> f(x) = arctan x; Formel für arctanmirakulös bewiesen.
Wenn ich nur Schritt 4. verstände...
Anmerkung: Pi-Berechnungen
Es gibt effizientere arctan-Formeln für Pi.
Was ich bisher programmiert habe:
Pi/4 = arctan 1 [Leibnitz]
Pi/4 = 4·arctan 1/5 - arctan 1/239 [Machin]
Pi/4 = 12·arctan 1/18 + 8·arctan 1/57 - 5·arctan 1/239 [Euler]
Pi/4 = 44·arctan 1/57 + 7·arctan 1/239 - 12·arctan 1/682 + 24·arctan 1/12934 [?]
Vielleicht kann mir noch jemand einen Denkanstoß geben?
Dankeschön!
Mh |
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