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Charity
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 12:56: |
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Hallo! Ich hab hier drei Aufgaben, die ich einfach nicht verstehe. Wir sollen die Formeln in einfachen,geschlossenen Ausdrücken angeben und beweisen. a) Summe von j=0 bis n für j mal(n über j) b) Summe von j=o bis n für (n über j) quadriert c) Summe von j=3 bis n für n über j mal (5 hoch j) Vielen Dank! Ach ja bin übrigens für jede Ausführung dankbar, möcht es wirklich gern verstehen.. Hab irgendwo nen Denkfehler drin.. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 15:03: |
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Hi Charity, Zur Teilaufgabe a) Das Resultat lautet: Summe S = n * 2 ^ (n-1) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Für eine direkte Herleitung benötigen wir die bekannte Summenformel für die sukzessiven Binomialkoeffizienten: b (n , k) = n ! [ k ! * (n - k ) ! ], genannt "n tief k": sum [b(n,k) ] = 2 ^ n Dabei läuft der Summationsindex k von 0 bis n. Bei der vorgelegten Summe S kann n vorgeklammert werden; in der Klammer steht genau die Summe der Binomialkoeffizienten b [ (n -1), j ] , j = 0.., n-1, also: S = n + 2 * {n(n-1)/(1*2)} + 3*{n*(n-1)*(n-2)/(1*2*3)} +... = n * [1 +( n-1) / 1 + (n-1)*(n-2) / (1*2) + ...] = = n * 2 ^ (n-1) Die Formel kann auch mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Etwas schwieriger sind die Teilaufgaben b) und c) zu lösen. Empfehlung: Beweis mit vollständiger Induktion, ausgehend von den Resultaten (ohne Gewähr): zu b) S = [(2 n) ! ] / [ n ! ] ^ 2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° zu c) S = 6 ^ n - 25 * b ( n , 2 ) - 5 * n - 1 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 16:01: |
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Hi Charity, Eine elegante Lösung Deiner ersten Aufgabe möchte ich Dir nicht vorenthalten ! Betrachte die Funktion f(x) = ( 1 + x ) ^ n für eine gegebene natürliche Zahl n. Bestimme die Ableitung f ' (x ) = n * (1 + x ) ^ (n-1) von f(x) . Entwickle f ( x ) nach dem binomischen Lehrsatz, leite gliedweise ab und setze x = 1 in der Summe ein. Du bekommst die gesuchte Reihe für S ;diese ist gleichwertig zur Ableitung f ' ( 1 ) = n * 2 ^ ( n - 1) von f(x) an der Stelle x = 1; alles ist in bester Ordnung Gruss H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 19:11: |
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Hi Charity, Wir wollen Deine zweite Aufgabe lösen ,und zwar - im wahrsten Sinn des Wortes - auf Umwegen In der Kombinatorik begegnet man einem Typus von Aufgaben, welche unter dem Stichwort " Irrfahrt im Strassennetz" bekannt sind. Im ersten Quadrant eines rechtwinkligen Koordinatensystems betrachten wir Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, so genannte Gitterpunkte, z.B. den Punkt P (8 / 6) Wir fragen: Welches ist die Anzahl der kürzesten Wege ,die vom Nullpunkt O(0/0) nach P führen, wenn die Klauseln gelten: Es dürfen nur Schritte nach rechts (parallel zur +x-Achse), Code 0, und Schritte nach oben, parallel zur +y-Achse ,Code 1, durchgeführt werden. Jeder zugelassene Weg kann durch eine Sequenz mit 8 Nullen und 6 Einern dargestellt werden, zum Beispiel so: 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Aus der Kombinatorik wissen wir, dass es 14 tief 6 = 14 tief 8 solche Sequenzen gibt. Im Beispiel gibt es somit 3003 Möglichkeiten, auf die verlangte Art von O nach P zu gelangen. Um unsere Aufgabe 2 zu lösen, berechnen wir die Anzahl bestimmter Wege auf zwei Arten, setzen die Resultate einander gleich, und schon steht die gewünschte Formel da. Diese Aufgabe lautet Man berechne die Anzahl der Wege vom Nullpunkt O(0/0) nach dem Punkt P(n/n) A] direkte Bestimmung der Anzahl z1, wie in der Einleitung vermerkt B] durch Addition der Anzahl Wege, die der Reihe nach über die Punkte (n/0), (n-1/1),(n-2/2) ,(n-3,3)...(1/n-1), (0 / n ) führen, erhalten wir z2 N.B. Diese Punkte liegen auf der "Hauptdiagonalen" des Gitternetzes. Die Summe ihrer Koordinaten ist stets n,daher steht in z2 "oben" immer n .also durchwegs b(n,..) Es gilt: z1 = (n +n) tief n = 2 n tief n = b(2n,n) z2 = [b(n,0)]^2 + [b(n,1)]^2 +[b(n,2)]^2+....+[b(n,n-1)]^2+[b(n,n)]^2 Aus z1 = z2 folgt die Behauptung Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 20:00: |
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Hi Charity, Packen wir's an, die dritte Aufgabe nämlich Wir entwickeln den Term T = ( 1 + 5 ) ^ n mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes. Aus T = 6 ^ n entsteht die Summe T = 1 + n * 5 / 1+ { n*(n-1) } / {1*2} * 5^2 + b(n,3)* 5^3 + +... + b(n,n-1) * 5 ^ (n-1) + b(n,n) *5^n. Beachte für b(n,0) * 5 ^ 0 wurde 1, für b(n,1) * 5 ^ 1 wurde der zweite Summand, für b(n,2) * 5 ^ 2 wurde der dritte Summand gesetzt. Gerade die Summe U dieser drei Summanden muss von T subtrahiert werden, damit wir die in der Aufgabe vorgegebene Summe S erhalten., denn die Summation für S beginnt erst mit j = 3. Wir berechnen den Wert von U : U = 1 + 5 * n + 25 * ½ * n* (n-1) Das Resultat S = T - U = 6 ^ n - U wurde bereits in meiner ersten Arbeit angegeben.. Damit ist die Aufgabe umfassend behandelt Gruss H.R.Moser,megamath. |
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