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Anne
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 08:35: |
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Hi. Ich benötige Hilfe für diese kurze Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass jedes Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle besitzt. Danke im Voraus. bye, Anne |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 10:39: |
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Hallo : Sei o.B.d.A. p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + ... + a_n. Dann ist p(x) = x^n*{1 + r(x)} mit r(x) = a_1/x + ... + a_n/x^n. Nach der Dreiecksungleichung gilt also |r(x)| =< |a_1|/|x| + ... + |a_n|/|x|^n. Sei M eine obere Schranke der |a_i|, und sei |x| > 1, also |x|^k =< |x| , k = 1,...,n. Dann ist |r(x)| =< n*M/|x|. Waehlen wir nun x so, dass |x| > 2*n*M, also insgesamt |x| > max{1, 2*n*M} =: A so wird |r(x)| < 1/2, folglich fŸr diese x : 1 + r(x) > 1/2 > 0 ==> p(x) > 0 fŸr x > A und p(x) < 0 fŸr x < - A. Da p(x) stetig ist, folgt die Beh. aus dem Zwischenwertsatz. Gruss Hans |
Tina
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 21:37: |
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Hi Hans! Muß man denn keine Fallunterscheidung machen, so daß: 1. n ungerade für x->oo geht gegen +oo für a_n>0 2. n ungerade für x->oo gegen +oo für a_n<0 3. n ungerade für x->-oo gegen -oo für a_n>0 4. n ungerade für x->-oo gegen -oo für a_n<0 Oder reicht dein Beweis schon aus??? Tina |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 08:22: |
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Das Vorzeichen von a_n ist unwesentlich. Die Idee bei der Sache ist: fŸr das Vorzeichen von p(x) entscheidend ist "schliesslich" (d.h. wenn |x| hinreichend gross ist) der Term x^n. |
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