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Vera
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 12:51: | 
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Wie berechnet man den Flächeninhalt des dem Einheitskreis ein- und des ihm umbeschriebenen regelmäßigem Zwölfecks (Herleitung der Formel)?
Danke wäre echt lieb wenn ihr mir da helfen könntet. |
Lerny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 12:14: |
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Hallo Vera
ein einem Kreis mit dem Radius r einbeschriebenes Zwölfeck besteht aus 12 gleichschenkligen Dreiecken mit der Schenkellänge r und dem Winkel g=30° (Winkel an der Spitze).
Für den Flächeninhalt des 12-Ecks gilt damit
A=12*g*h/2=6*g*h
g=Grundseite des Dreieck; h=Höhe im Dreieck.
sin(15°)=(g/2)/r => g=2r*sin15°
cos(15°)=h/r => h=r*cos15°
Mit r=1 folgt weiter
g=2*sin15°=0,52
h=cos15°=0,97
A=6*0,52*0,97=3,0264
Ein dem Kreis umbeschriebenes 12-Eck besteht aus 12 gleichschenkligen Dreiecken, bei denen die Höhe der Radius des Kreises ist. Der Winkel an der Spitze ist wieder 30°.
A=6*g*h=6*g*r
tan15°=(g/2)/r =>g=2*r*tan15°
Mit r=1 folgt weiter
g=2tan15°=0,536
A=6*0,536*1=3,215
allgemeine Formel
Aeinbeschr.=6*2rsin15°*rcos15°
=12r²sin15°cos15°
Aumbeschr.=6*2rtan15°*r=12r²tan15°
Bitte nachrechnen.
mfg Lerny |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 19:05: |
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Hallo Vera,
...es geht auch ohne Trigonometrie...
a...Seitenlänge im reg. 12-Eck
r...Umkreisradius des reg. N-Eck
Man kann über eine bestimmte Relation bei reg. N-Ecken zeigen, das für die Seitenlänge a des Zwölfecks gilt...
a=r*Ö(2-Ö(3))
Über Pythagoras ließe sich leicht beweisen, das für die Höhe h in einem Teildreieck gilt:
h=r/2*Ö(2+Ö(3))
Und zum Schluß lässt sich noch durch "zusammenmatschen" die Flächenformel herleiten:
A=6*a*h
A=3r²
======================================00
Zwischenschritte gibt es auch noch auf Wunsch schriftlich...
Gruß N. |
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