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Beitrag |
    
Tristin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 16:30: | 
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Hallo !
Ich soll folgendes Integral auf seine Wegunabhängigkeit prüfen, mir is schon klar, daß das irgendwie Null ergeben muß, aber wie zum Teufel integrier ich das ganze ?
ò(3/4) (1/2) (6xy²-y²)dx + (6x²y-3xy²)dy
Ein andres Problem wär da noch dieses nette Integral:
òC (y²-2xy)dx+(x²+y)dy
wobei C der Rand des Gebietes {(x,y):0<=x<=1 , x²<=y<=Sqrt[x]}
Mit Hilfe von diesem Integral soll ich den Satz von Green verifizieren.
wär ja vielleicht net so schwer, wenn man wüsste, wie.
Danke im Voraus
Tristin |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 21:06: |
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Hallo Tristin,
Du hast Recht: Wenn man's kann, ist nichts schwer!
Zum 1. Beispiel:
Wir vergleichen das Integral mit:
ò M(x,y)dx + N(x,y)dy
Ein solches Integral ist wegunabhängig, wenn gilt:
My = Nx also die Ableitung von M nach y muss gleich sein der Ableitung von N nach y.
In unserem Fall ist
My = 12xy-2y
Nx = 12xy-3y²
also nicht gleich: das Integral ist wegabhängig und kann daher nicht berechnet werden, ohne den Weg zu kennen!
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Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 21:39: |
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Hallo Tristin,
Nun das zweite Beispiel.
Um den Satz von Green zu verifizieren, berechnen wir das Integral
1. als Doppelintegral
2. Nach dem Satz von Green
Wenn wir Glück haben, sind beide Ergebnisse gleich!
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Nach Methode 1:
Wir parametrisieren die beiden Wege:
C1: x=t und y= t² somit dx=dt und dy=2tdt, t von 0 bis 1
C2: x=t und y=W(t) somit dx=dt und dy=dt/(2W(t)), t von 1 bis 0
Nun setzen wir einfach ein:
C1: ò0 1 (t4-2t³)dt + ò0 1(t²+t²)2tdt = 7/10
C2: ò1 0(t-2tW(t))dt +ò1 0(t²+W(t))dt/(2W(t)) = -2/5
Zusammen: 3/10
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Jetzt nach Green:
ò Mdx + Ndy = ò ò (Nx - My)dA
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wobei das erste Integral ein Linienintegral ist und das zweite
ein Doppelintegral über das eingeschlossene Gebiet.
In unserem Beispiel ist:
M= y²-2xy daher My = 2y-2x
N= x²+y daher Nx = 2x
dA = dx*dy
Wir werten das Doppelintegral als zwei geschachtelte (iterated integrals) aus wobei wir zuerst nach y und dann nach x integrieren:
y läuft dabei von y=W(x) bis x² und x läuft von x=0 bis 1
ò0 1òW(x) x²[2x-(2y-2x)]dydx =
= ò0 1òW(x) x²(-2y)*dydx = 3/10 gleiches Ergebnis wie vorher!
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Tristin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 09:21: |
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Hallo Fern !
Also erst mal danke für deine Hilfe.
Aber ich hätt da noch einige Fragen:
Das erste Beispiel erscheint mir jetzt großteils ganz klar, nur muß ich da denn nirgens die Grenzen berücksichtigen ?
Beim zweiten:
Wie kommst du auf die Parametrisierungen ?
und was genau bezeichnet W(t) ?
also, wenn ich z.B. òW(t) 1 hab, welche Grenzen muß ich hier dann einsetzen ?
danke und liebe grüsse.
Tristin |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 10:51: |
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Hallo Tristin,
Zu 1)
Das Integral soll vom Punkt P1 = (3; 4) zum Punkt P2 = (1; 2) berechnet werden.
Man kann aber auf verschiedenen Wegen von P1 nach P2 gelangen.
Siehe Skizze:
Zum Beispiel Weg = Gerade von P1 nach P2
oder über Punkt H
oder nach roter Linie.
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Bei wegunabhängigen Feldern (sogenannten konservativen Feldern)
ergibt das Integral über alle Wege das gleiche Resultat.
In unserem Fall ist das Feld aber nicht konservativ.
Das Integral hängt also vom Weg ab. Da dieser nicht gegeben ist, kann es nicht berechnet werden.
Dies gilt für alle Punkte (x;y), also für alle Grenzen des Integrals. Deshalb braucht man sie nicht zu betrachten.
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Zum 2. Beispiel später. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 12:33: |
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Hallo Tristin,
Nun geht's weiter:
W(t) ist meine Abkürzung für "Wurzel aus t". Entschuldige, dass ich dies nicht erklärt habe.
Parameterdarstellung:
Siehe Bild: das Gebiet ist von zwei Kurven begrenzt.
Untere Kurve: y = x²
Zur Parameterdarstellung suchen wir ein Funktionspaar
x(t)
y(t)
Wir wählen willkürlich: x=t
dan ist:
x(t) = t
y(t) = t²
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Anmerkung: wir hätten z.B. auch x = 3t³ wählen können. Parameterdarstellung dann:
x(t) = 3t³
y(t) = 9t6
Wir bleiben aber besser bei der einfacheren Version
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Da wir im Integral auch dx und dy einsetzen müssen, bilden wir die Ableitungen:
dx/dt = 1.........also dx=dt
dy/dt = 2t........also dy = 2t*dt
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Für die obere Kurve genauso.
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Zum Auswerten des Doppelintegrals ist noch zu beachten, dass das Gebiet so umfahren werden muss, dass es immer links vom Weg liegt.
Also von (0; 0) auf der unteren Kurve bis (1; 0) und dann auf der oberen Kurve zurück.
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Tristin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 13:41: |
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Hallo Fern !
Vielen Dank !
Ich hab's jetzt sogar verstanden *smile*
hast mir echt sehr geholfen, jetzt schaff ich vielleicht sogar Analysis II :-)
liebe Grüsse
Tristin. |
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