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Thea
| Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 18:18: |
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Die Beziehung F(x,y)=x+y+y³=0 definiert eine implizite Funktion y=f(x).Im Punkt x(0)=1 soll mit Hilfe des Satzes über die Implizite Funktion die Ableitung berechnet werden. |
Thea
| Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 18:21: |
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Kann mir wirklich keiner weitehelfen?Ich weiß aber,daß man erst noch den Punkt y(0)durch nummerisches Verfahren herausbekommen muß. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 09:49: |
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Hi Thea , Zuerst differenzieren wir die vorgelegte Relation implizit nach x. Bei der Ableitung von y^3 verwenden wir die Kettenregel, indem wir zuerst nach y ableiten und das Resultat 3*y^2 mit der inneren Ableitung von y nach x , d.h. mit y ' , multiplizieren. So erhalten wir insgesamt folgende Ableitung beider Seiten nach x 1 + y' + 3 * y ^ 2 * y' = 0 aufgelöst nach y' : y ' = - 1 / ( 1+ 3 * y ^2 ) .....................................................(I) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Zweiter Teil der Aufgabe Es gilt nun, zum gegebenen x-Wert ( x = 1 ) den zugehörigen y - Wert zu bestimmen Diesen findet man als einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung y ^ 3 + y + 1 = 0 entweder mit Cardano: y = -1/6 * t +2 / t , wobei t = [108+12* wurzel (93) ] ^ (1/3) ist oder mit einer Näherungsmethode: y ~ - 0 , 6823278. Dieser Wert ist in die Funktionsgleichung (I) für y ' einzusetzen. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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