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Markus
| Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 19:36: |
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Hallo Ich kenne mich bei folgender Aufgabe nicht so recht aus und erhoffe hier Hilfe zu finden! Die Funktion f: D-->R sei für D=R{-2,2} durch f(x)=(x-2)/(x^2 - 4) gegeben. a.) Für x0 = 2 bestimme man einen geeigneten Funktionswert f(x0), so dass f in x0 stetig wird. Das kann ich noch so einigermaßen verstehen: 1. Ich bilde den Grenzwert für x-->2 lim x-->2 (x-2)/(x^2 - 4) = lim x--> (x-2)/((x-2)*(x+2)) = lim x--> 1/(x+2) = 1/4 2. für Stetigkeit in x0 muss gelten lim x-->2+ f(x) = lim x-->2- f(x) = f(x) = 1/4 Daraus folgt, dass der Funktionswert f(x0) 1/4 sein muss. So weit bin ich gekommen. Der zweite Teil der Frage ist nun die Stetigkeit in x0 mit epsilon-delta-Charakterisierung nachzuweisen. Und hier steige ich komplett aus. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen. Es ist wirklich dringend. Vielen Dank Markus |
Markus
| Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 19:38: |
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Bei der Fragestellung hat sich ein Fehler eingeschlichen: es muss lauten: .... sei für D = R ohne {-2,2} durch f(x) = .... |
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 11:11: |
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Hallo Markus, Unsere Funktion ist also: falls x=R\{-2,2} so ist f(x)=(x-2)/(x²-4) falls x=2 so ist f(x) = 1/4 ========================== Es sei G ....... der Grenzwert d und e positive Zahlen. Um die Stetigkeit für x0 zu zeigen, müssen wir nachweisen, dass für jedes (frei wählbare) e, ein d existiert, so dass |G - f(x)| < e für alle x aus der Umgebung x0±d. In anderen Worten: Die Abweichung der Funktion vom Grenzwert G kann beliebig klein gemacht werden, sofern man sie nur nahe genug zur Stelle x0 betrachtet. =================== Unser Beispiel: G = 1/4 =0,25 Wir berechnen die Funktion an der Stelle x0+d (gleiche Rechnung auch für x0-d machen) f(x) = (2+d - 2)/((2+d)² - 4) Abweichung von G: 1/4 - (2+d-2)/((2+d)²-4) soll < e sein dies ergibt: d < -4+4/(1-4e) ================== Dies ist der Zusammenhang zwischen d und e. Wir sehen: wenn wir e kleiner und kleiner fordern, so erhalten wir auch d klein. z.B.: e = 0,01 ergibt d = 0,1666.. und f(x0+d)=0,2400.. e = 0,001 ergibt d=0,016064.. und f(x0+d)= 0,2490.. Die Differenz der Funktion zum Grenzwert G ist also immer kleiner als e. (Wenn wir nur d nach der blauen Beziehung wählen) ========================================================== Daher ist die Funktion an der Stelle x0 stetig! |
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