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Xavier
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 16:11: |
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Es sei V=C(R) der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren reellen Funktionen f: R->R, x->f(x). a) Berechnen sie in V den Lösungsraum des homogenen linearen Differential- gleichungsstems (-1 0 0) ( 1 -4 -3)= A (-1 6 5) (y1,y2,y3)= y y' = A*y b) Berechnen Sie alle Lösungen des inhomogenen linearen DGL-systems y' = A*y+x mit x=(x1,0,0) Noch einmal Danke, Xavier! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 09:22: |
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Hallo : a) Die Eigenwerte von A sind -1 (doppelt) und 2. Leider ist -1 ausgeartet, d.h. es ist nicht moeglich A zu diagonalisieren. Mittels U:=[[1 0 0],[0 -1 1],[0 1 -2]] ==> U^(-1) = [[1 0 0],[0 -2 -1],[0 -1 -1]] (lies zeilenweise) erreicht man nur U^(-1) A U = J := [[-1 0 0],[-1 -1 0],[0 0 2]]. Setze y = U w, dann erhaelt man fŸr w das einfachere System w' = J w dessen allgemeine Loesung man leicht abliest: w = C_1*e^(-t)*(1,-t,0)^T + C_2*e^(-t)*(0,1,0)^T + C_3*e^2t*(0,0,1)^T (^T heisst "transponiert"). b) Zur allgemeinen Loesung der homogenen Gl. (s.o.) tritt eine partikulaere Loesung der inhomogenen Gl. additiv hinzu. Die transformierte Gleichung heisst w' = J w + (x_1,0,0)^T und man sieht, dass w = (x_1,0,0) eine part. Loesung ist. Rechne bitte alles nach ! Gruss Hans |
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