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chris
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 12:25: |
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hi, ich habe ein problem mit einer aufgabe, die folgendermaßen lautet: Die Vektoren a,b,c spannen ein regelmäßiges Tetraeder auf. a) Zeigen Sie, dass die Vektoren zu zwei windschiefen Kanten aufeinander senkrecht stehen. b) Zeigen Sie, dass alle nach aussen gerichteten Produktvektoren der Kantenvektoren den Nullvektor ergeben. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 13:44: |
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Hi Chris, a) Die vom O ausgehenden Kantenvektoren des regulären Tetraeders OABC sind: a = OA , b = OB , c = OC Wir berechnen die Skalarprodukte b.c und a .b , je ausgedrückt durch die Kantenlänge s des Tatraeders Wir erhalten aus der Definition des Skalarproduktes: b . c = s * s * cos 60° = ½ * s^2 , ebenso a . b = s * s * cos 60° = ½ * s^2 , also Gleichheit Wir zeigen jetzt , ebenfalls mit Hilfe des Skalarproduktes, dass die Kantenvektoren OB = b und AC = c - a aufeinander senkrecht stehen: b . ( c - a ) = b c - a. b = 0 nach der Vorausberechnung. Da das Skalarprodukt verschwindet, sind die involvierten Vektoren senkrecht. b) Wir formulieren den einschlägigen Satz, der für beliebige Tetraeder gilt: Die Summe der Vektoren, welche zu den Seitenflächen eines Tetraeders senkrecht nach aussen errichtet werden und deren Längen gleich den entsprechenden Seitenflächen sind , ist der Nullvektor. Beweis Wiederum seien a , b , c die von einer Ecke ausgehenden Kantenvektoren, die ein Rechtssystem bilden sollen. Dann gilt für die Vektorprodukte : - ( a x b ) - ( b x c ) - ( c x a ) + (b-a) x (c-a) = ( b x a ) - ( b x c ) + ( a x c ) + ( b x c ) - ( a x c ) - ( b x a ) + (a x a ) = = ( a x a ) = o (Nullvektor) q.e.d. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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