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Stefan Reich2 (stefan2003)
Neues Mitglied Benutzername: stefan2003
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 25. Oktober, 2002 - 19:09: |
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Hallo! Ich suche Hilfe zur folgenden Aufgabenstellung: ------------------------------ Gegeben ist das System linearer Gleichungen (SLG): 1 2 0 3 | 1 4 5 6 0 | 2 7 8 9 0 | 3 Wandeln Sie dieses SLG um in Ax=b, d.h. geben Sie A,x und b an. -------------------------------- Ich hoffe, jemand kann mir bei der Lösung hier helfen! Vielen Dank im Voraus!
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Stefan Reich2 (stefan2003)
Neues Mitglied Benutzername: stefan2003
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Oktober, 2002 - 11:14: |
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Ich komme mit Hilfe des Gaussschen Eliminationsverfahrens auf keine Lösung, nicht einmal den Rang kann ich bestimmen. Hat denn keiner einen möglichen Lösungsversuch? -Stefan
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 192 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 00:30: |
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Hallo, überprüfe bitte die Angabe, sie ist nicht ganz verständlich. Was sollen die 5 Zahlen in drei Zeilen eigentlich bedeuten? Ist es ein LGS mit 4 Variablen, in dem eine Gleichung fehlt? Oder eines mit 3 Variablen und die rechte Spalte 1, 2, 3 numeriert nur die Gleichungen? So ist es nämlich nicht verwunderlich, dass dir bis jetzt niemand geantwortet hat. Die Matrixgleichung A.X = B muss durch Multiplikation beider Seiten (von links) mit der inversen Matrix A[-1] so umgewandelt werden (zur Vermeidung von Verwechslungen nehme ich Großbuchstaben für Matritzen): A[-1].A.X = A[-1].B E.X = A[-1].B ... E Einheitsmatrix X = A[-1].B; (A.A[-1] = E) Die inverse Matrix zu ermitteln, kann aber ziemlich rechenintensiv werden, sodass man das LGS lieber durch das Eliminationsverfahren oder die Cramer'sche Regel (wenn nicht mehr als 3 Unbekannte vorliegen) löst. Die Sache funktioniert aber nur bei quadratischen Matritzen (gleichviele Zeilen wie Spalten). Somit ist anzunehmen, dass das LGS in deiner Angabe wie folgt aussieht: | 1 2 0 | | 4 5 6 | . X = |3 0 0|(T) | 7 8 9 | (T) heisst transponiert, also dass der in einer Zeile geschriebene Vektor in Wirklichkeit ein Spaltenvektor (Matrix) ist. |3| |0| = B |0| Die Matrix A | 1 2 0 | | 4 5 6 | | 7 8 9 | hat den Rang 3, weil deren Determinante <> 0 ist (sie hat den Wert 9). Daher ist das LGS eindeutig lösbar. Wir schreiben es mal in den Variablen an, denn X = |x y z|(T): x + 2y ....... = 3 4x + 5y + 6z = 0 |*(-3) 7x + 8y + 9z = 0 |*2 ... |+ ----------------- aus der 2. und dritten Gleichung eliminieren wir z, es ergibt sich: 2x + y = 0; mit der ersten Gleichung x + 2y = 3 folgt leicht: ------------------------------------- x = -1; y = 2; und danach durch Einsetzen: z = -1 der Lösungsvektor X X = [-1; 2; -1](T) ============= Die Umformungen, die wir in dem LGS vorgenommen haben, sind gleichermaßen auch in der Matrixschreibweise durchführbar, denn dies führt genau so zu dem Ziel: E.X = X, wobei |1 0 0| |0 1 0| = E |0 0 1| Die zu A inverse Matrix A[-1] ist |-1/3 - 2 4/3 | | 2/3 1 - 2/3 | |-1/3 2/3 -1/3| diese mit B multipliziert, ergibt direkt die Lösung X: |-1/3 - 2 4/3 | | 2/3 1 - 2/3 | * | 3 0 0 |(T) = [-1; 2; -1](T) |-1/3 2/3 -1/3| Gr mYthos (Beitrag nachträglich am 28., Oktober. 2002 von mythos2002 editiert) |
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