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Kerstin Ackerschott (kerstin)
Neues Mitglied Benutzername: kerstin
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 06-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 13:02: |
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Hallo, ich brauche dringend eure Hilfe: 1)Zeigen durch vollständige Induktion: 1^2+2^2+......+n^2= 1/6n (n+1) (n+2) A(1) habe ich schon bewiesen, A(n+1) habe ich angefangen, doch komm ich nicht bis zum Schluß! 2) Für (x,y) e RxR-(0,0) sei (x1, y1) ~ (x2,y2) wenn eine reele Zahl müh ungleich 0 existiert, so dass (x1,y1)=(mühx2,mühy2) Zu zeigen: ~ ist äquivalenzrelation 3)Es sei Zn:= {Zeichenkette der Länge n aus den Zeichen 0 oder 1} Und Ze:= {Zeichenkette endlicher Länge aus den zeichen 0 oder 1} Beweise, a) dass Zn und {1,2,...,2^n} und b) dass Ze und N gleichmächtig sind. 4) a) ermittle mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von (42079/719519) und b) finde s,t eZ, so dass ggT(a,b)= sa+tb.
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 343 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Oktober, 2002 - 08:28: |
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Kerstin, Hier einige Lösungshinweise. 1) Kürze ab : S(n) := 12 + ... + n2. Beh.: Für alle n in |N gilt S(n) = n(n+1)(2n+1)/6 . (Schreibfehler !) Dies gilt für n=1 und sei für irgendein n>=1 schon bewiesen (Induktionsannahme). Dann ist zu zeigen, dass für dieses n auch S(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)/6. (Induktionsbehauptung) Nun gilt nach Def. von S(n): S(n+1) = S(n) + (n+1)2 Nun benutzt man die Ind.-Ann. für S(n) und verifiziert die Ind.-Beh. durch algebraische Umformung. 2) Man muss dreierlei zeigen: 1. ~ ist reflexiv, d.h. (x,y) ~ (x,y) 2. ~ ist symmetrisch, d.h.: (x1,y1) ~ (x2,y2) ==> (x2,y2) ~ (x1,y1) 3. ~ ist transitiv, d.h.: (x1,y1) ~ (x2,y2) und (x2,y2) ~ (x3,y3) ==> (x1,y1) ~ (x3,y3). Das beinahe offensichtlich, du solltest diese "Schreibübung" trotzdem durchführen. 3. Beachte zunächst die Definition von "gleichmächtig" (glm): Sind X,Y Mengen, so gilt : X glm Y :<==> Es gibt eine Bijektion f : X --> Y. a) Ueberlege zunächst z.B. den Fall n=2 : Die Zahlen 0,1,2,3 lassen sich binär durch 00,01,10,11 darstellen. Verallgemeinere! b) Jede nat. Zahl. besitzt eine eindeutige Binärdarstellung, umgekehrt stellt jede endliche (0,1)-Folge eine nat. Zahl dar. 4) Rechenaufgabe, sollte man eigentlich bewältigen können, wenn man den euklidischen Algorithmus mal verstanden hat (abbrechende Folge von "Divisionen mit Rest").
mfg Orion
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Kerstin Ackerschott (kerstin)
Neues Mitglied Benutzername: kerstin
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 06-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 11:16: |
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Hallo Orion, vielen Dank für die Hinweise, ich habe alle Aufgaben mit Ihnen geschafft Gruß Kerstin |
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