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Angelina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 01:59: | 
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Hi ihr alle,
weiss jemand, wie man unter der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Aussagen beweisen kann:
1. Unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt.
2.Unter allen Quadern mit gegebener Oberfläche hat der Würfel das größte Volumen.
Bittte!!
Danke! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 09:00: |
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Hallo :
Die erwaehnte Ungleichung lautet fŸr n Variable
x_1,...,x_n bekanntlich
x_1*x_2*...*x_n =< [(1/n)*(x_1+x_2+...x_n)]^n,
fŸr 0 =< x_1,...,x_n, mit Gleichheit genau dann
wenn x_1 = x_2 = ... = x_n.
1. Sind a und b die Seiten des Rechtecks und u
sein gegebener Umfang, also a + b = u/2, so gilt
also ab =< u^2/4 mit Gleichheit g.d.w. a=b=u/4.
2. Sind a,b,c die Kantenlaengen des Quaders,
S seine Oberflaeche und V sein Volumen, so gilt
V = abc und S = 2(bc + ca + ab)
==> V^2 = (bc)*(ca)*(ab) =< (S/6)^3
mit Gleichheit g.d.w. bc = ca = ab <==> a=b=c.
Gruss
Hans |
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