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paul
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 19:17: |
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wer kann nach variation der konst. diese aufgabe vorrechnen 5y`= -3x^2y+6xy+3y . danke ... paul |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 21:50: |
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Hi Paul , Ich nehme an, die DGl. laute: y ' = 1/5* (- 3 x^2 y + 6 x y + 3 y) Unvoreingenommen löst man diese DGl. so Division mit y' (Vor: y' verschwinde nicht indentisch) y ' / y = 1/5*( -3 x^2 + 6 x + 3) Sofortige Integration beider Seiten: ln y = 1/5 *(- x^3 + 3 x^2 + 3 x ) + C, daraus y = c * e ^ [1/5*( -x^3 + 3*x^2 + 3 x)] C und c sind Integrationskonstante mit ln c = C. Wenn man die Variation der Konstanten anwenden will oder muss, geht man so vor : Homogene Gleichung: y'/y = 0 oder dy/y = 0 * dx = 0 , Integration: ln y = k oder y = e ^ k , k konst. Variation der Konstanten: y = e ^ [k(x) ] also y' = k'(x) e ^[k(x)]; einsetzen in die gegebene DGl. liefert y'/y= k' = 1/5*( -3 x^2 + 6x + 3) ,daraus k(x) = 1/5*(-x^3 + 3 x ^ 2 +3x ) allgemeine Lösung wie oben.: y = c * e^[k(x)]k. Anmerkung : die oben verworfene Gleichung y' identisch null liefert die singuläre Lösung y = A (konst.) Du darfst diese Sonderlösung bei der ersten Lektüre ignorieren ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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