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Massoth
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. November, 2000 - 18:54: |
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Hallo Leute, ich möchte den Konvergenzradius der folgenden Funktion finden: f(x) = (5-3x)/(2-x)^2 Der Entwicklungspunkt sein x=0 Die Taylorreihe ergibt: 5/4 + x/2 + 3x^2/16 + x^3/16 + x^4/64 -x^6/256 - x^7/256 - 3x^8/1024 ... Um nun das Quotientenkriterium anzuwenden, muss ich die Formel Summe ak *x^k finden. Diese kann ich aber aus der oberen Reihe nicht herleiten. Wie kann ich dennoch den Konvergenzradius ermitteln? Für Anregungen und Hilfen bin ich sehr dankbar. MfG Massoth |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 19:34: |
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Hi Massoth, um das Bildungsgesetz für die ak zu finden, differenziere ich mal die Funktion g(x) = (anx+bn)/(x+c)n => g'(x) = (x*an*(1-n) +anc-nbn) / (x+c)n+1 Nun ist g' von der gleichen Form wie g, nämlich mit an+1 = an*(1-n) und bn+1 = anc-nbn In der Funktion f(x) ist a2 = -3 b2 = 5 und c = -2 Also sind die Koeffizienten von f': a3 = a2*(1-2) = -a2 = 3 b3 = a2c}-2b2 = (-3)*(-2)-2*5 Also lautet die Ableitung f'(x) = (3x-4)/(x-2)n+1 Man kann nun (weil f'=(a3x+b3)/(x+c)3 die nächste Ableitung angeben, indem man die Rekursionsformeln für an und bn verwendet. Übrigens hast Du Dich bei der fünften Ableitung verrechnet. Diese lautet: f5(x) = 360x / (x-2)7
n | a(n) | b(n) | c | c hoch n | f(0) | i! | f(0)/i! | 2 | -3 | 5 | -2 | 4 | 1,25 | 1 | 1,25 | 3 | 3 | -4 | -2 | -8 | 0,5 | 1 | 0,5 | 4 | -6 | 6 | -2 | 16 | 0,375 | 2 | 0,1875 | 5 | 18 | -12 | -2 | -32 | 0,375 | 6 | 0,0625 | 6 | -72 | 24 | -2 | 64 | 0,375 | 24 | 0,015625 | 7 | 360 | 0 | -2 | -128 | 0 | 120 | 0 | 8 | -2160 | -720 | -2 | 256 | -2,8125 | 720 | -0,00390625 | 9 | 15120 | 10080 | -2 | -512 | -19,6875 | 5040 | -0,00390625 | 10 | -120960 | -120960 | -2 | 1024 | -118,125 | 40320 | -0,002929688 | | Nun kann man einfach angeben: fm(0) = bm+2 / cm+2 Der Quotient fm-1(0)/(m-1)! / fm(0)/m! wird zu [(bm+1/cm+1)/(m-1)!] / [(bm+2/cm+2) /m!]= c * (bn-1/(bn Da kann man für bm+2 die Rekursionsformel mit bm+1 einsetzen. Dann kann man an = a2 * (-1)n-2 * (n-1)! darstellen. Die bn kann man auch zurückentwickeln: bn+1 = anc-nbn = anc-n*[an-1c-(n-1)bn-1] irgendwie bekommt man dann auch einen geschlossenen Ausdruck in Abhängigkeit von n hin. Und dann muß man noch den Quotienten abschätzen. Ich muß aber erst mal Pause machen. Vielleicht hilft Dir das schon weiter. Gruß Matroid |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 20:13: |
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Diese folgende Mail habe ich erhalten. Ich mag es wenn die Dinge beieinander stehen.
Quote: Hallo Herr Matroid, herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung der Lösung. Nie im Leben wäre ich auf einen solchen Lösungsansatz gekommen. Es ist für mich schon schwierig genug, Ihre Lösung nachzuvollziehen. Zunächst suchte ich in allen Formelsammlungen nach dieser Ableitungsfunktion vom Typ (an*x+bn)/(x+c)^n, konnte aber nichts finden. So machte ich mich dann selbst "zu Fuss" auf den Weg mit Hilfe der Produktregel und konnte Ihre Lösung schliesslich verifizieren. Verrechnet habe ich mich bei der Ableitung nicht. Ich habe mich ganz auf Derive verlassen, welches immer noch eine fehlerhafte Ableitung liefert (ich habe damit nochmals die 5. Ableitung gebildet). Noch klar ist mir die Zeile: fm(0)=bm+2/cm+2 Wegen p(x) = f(0)/0! + f'(0)/1!*x + f''(0)/2! * x^2 + f(3)(x)/3!*x + ... = Summe (von m=1 bis unendlich) von f(m-1)(x)/(m-1)!*x(m-1) r = lim (m->unendlich) f(m-1)(x)/(m-1)!/ f(m)(x)/(m)! Einsetzen b/c r = lim (m->unendlich) bm+1/cm+1/(m-1)!/ bm+2/cm+2/(m)! Weiter ergibt sich: r = lim (m->unendlich) bm+1/ bm+2 * cm+2/cm+1 * m!/(m-1)! r = lim (m->unendlich) bm+1/ bm+2 * c * m !Hier unterscheidet sich meine von Ihrer Lösung. Es gilt doch: m! = m * (m-1)! Habe ich einen Denkfehler gemacht? Auch ist es mir unmöglich auf einen geschlossenen Ausdruck für bm+1 in Abhängigkeit von n zu kommen. Damit habe ich keine Erfahrung. Auf diese Aufgabe kam ich, als ich die Reihe mit Konvergenzradius für f(x) = 4/(1-3x) berechnete. Dabei hatte ich keine Probleme mit der allgemeinen Summenformel. Als weitere Übungsaufgabe für gebrochenrationale Funktionen suchte ich mir aus dem Buch Mall: Unendliche Reihen und gewöhliche Dgl'n, BSV, die Aufgabe S. 56 Nr 83 aus. Jetzt ist mir klar, warum in anderen Büchern keine gebrochenrationale Funktionen als Reihen dargestellt werden. Falls es Ihnen möglich wäre, die Aufgabe bis zum Ende zu führen, wäre dies phantastisch. Es wäre sehr schade für mich, ein solches Beispiel nicht als Demo-Beispiel gebrauchen zu können. Ich bedanke mich ganz herzlich für Ihre bisherige Hilfe. Gruß Massoth
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Zaph (Zaph)
| Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 20:39: |
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Es ist vielleicht unsportlich, aber mit zusätzlichem Wissen kann man die Frage sehr einfach beantworten: Der Konvergenzradius der Taylorreihe von f(x) = (5 - 3x)/(2 - x)² mit Entwicklungspunkt x0 = 0 ist 2. Allgemein gilt für rationale (und viele andere, die sogenannten holomorphen) Funktionen, dass der Konvergenzradius r maximal mit der Eigenschaft ist, dass die Funktion innerhalb des Kreises mit Mittelpunkt x0 und dem Radius r keine Polstellen besitzt. Die Funktion ist dabei als komplexe Funktion (mit Definitions- und Wertebereich C) aufzufassen. Z. B. hat die Funktion f(x) = (5 - 3x)/(x² + 1) die einzigen Polstellen i und -i in C. Die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 2 hat den Konvergenzradius Ö5, da i und -i auf dem Rand des Kreises mit Mittelpunkt 2 und Radius Ö5 liegen. |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Montag, den 20. November, 2000 - 22:03: |
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Hallo Massoth, der Konvergenzradius r einer Potenzreihe S¥ n=1 an*xn kann bestimmt werden mit r = limn->¥ |an/an+1|, falls der Grenzwert existiert. Darum betrachte ich den Quotienten fm-1(0)/(m-1)! / fm(0)/m! An der Stelle, wo Du schreibst: r = lim (m->unendlich) bm+1/ bm+2 * c * m hast Du recht. Irgendwie bricht mein Ausdruck mittendrin ab. Ich wollte wohl noch etwas mehr schreiben. Und irgendwie ist es auch nicht richtig, daß ich von m zu n übergehe. Ach, da kommt gerade eine Beitrag von Zaph. Ah, ja, damit ist die Frage beantwortet. Übrigens, ganz unnütz ist mein Ansatz mit den rekursiven Koeffizienten aber nicht. Es gibt so Aufgaben, da ist das gewünscht. War hier aber wohl nicht zielführend, da es zu kompliziert wurde. Ich hatte mal eine Aufgabe, die war mit f(x) = 1/(x-2)2. Da war alles viel besser, weil da an = 0 und bn = -(n-1) war. Muß man nur a2=0, b2=1 und c=-2 einsetzen. Grüße an Massoth und Zaph Matroid |
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