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Winky
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 16:06: |
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Hallo! Ich bin NWI-Student und brache unbedingt meinen Mathe3-Schein! Bitte helft mir!!! Zur Erläuterung: x=zeta, y=eta, f=phi Sei C die Kugel x1^2+x2^2+(x3-0,5)^2=0,25 und z=x+iy=f(x1,x2,x3) die Projektion der Kugel aus N=(0,0,1) auf die x1-x2-Ebene. Leite Formeln für f und f^(-1) her und beweise die Kreisverwandtschaft der Abbildungen. Komme damit voll nicht klar! Vielen Dank im voraus! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 17:54: |
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Hallo : Hier eine Anleitung, rechnen musst Du schon selbst. Es handelt sich also bei f um die stereographische Projektion der Kugel k auf die (x_1,x_2) - Ebene. Der Projektionsstrahl von N durch einen variablen Punkt P = (x_1,x_2,x_3) auf k trifft die (x_1,x_2)-Ebene in (x,y,0) (oder also in z=x+yi, wenn man die Grundebene als komplexe Zahlenebene auffasst). Mit Hilfe der Vektorgeometrie (Parametergleichung der Geraden NP) rechnet man den Durchstosspunkt von NP mit der Ebene x_3 = 0 aus: (x,y,0) = (0,0,1) + s(x_1,x_2,x_3 - 1) Die 3. Komponente besagt : s = 1/(1-x_3), also lauten die Abbildungsgleichungen fŸr f : x = x_1/(1-x_3) , y = x_2/(1-x_3) Dieselbe Ueberlegung fŸr f^(-1) : (x_1,x_2,x_3) = (0,0,1) + t(x,y,-1), daraus t und schliesslich x_1,x_2,x_3 als Funktionen von x,y. Kreisverwandschaft heisst : das f-Bild eines Kugelkreises ist ein (evtl. ausgearteter) Kreis in der Grundebene. Ein Kugelkreis entsteht durch schneiden von k mit einer Ebene E E : ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0. Setzt man die soeben erhaltenen Formeln fŸr x_1,x_2,x_3 hierin ein, so kommt formal eine Kreisgleichung A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D = 0 heraus. Viel Erfolg Hans |
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