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Klemens
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 19:11: |
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Hallo! Suche Formel für Schwerpunkt vom Kegelstumpf (Ys) Ich gehe von einen "graden" Stumpf aus (Xs = 0), der Bezugspunkt soll der Mittelpunkt der unteren Grundfläche sein. Radius unten r1, Radius oben r2, Höhe h. Danke, Klemens. |
Gerhard
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 08:39: |
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Hi Klemens, Bist Du jetzt in die Universität aufgerückt? Siehe auch: http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/10384.html?980361163 |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 08:40: |
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Hi Klemens, Zu Anfang führe ich eine kleine Modifikation in den Bezeichnungen aus: Kegelstumpf als Rotationskörper(homogen), Rotation um die z-Achse Grundkreisradius R, Deckkreisradius r , Höhe h. In der (x,z)-Ebene sind die Punkte A und B gegeben: A: x = R , z = 0 ; B : x = r , z = h. Die Strecke AB wird als Meridian verwendet und erzeugt bei der Rotation um die z-Achse den Rotationskegelstumpf, dessen Schwerpunkt S aus Symmetriegründen auf der z-Achse liegt. Gesucht wird die z-Koordinate zS von S; Resultat: zS = h /4 * (R^2 + 2R*r+ 3*r^2) / (R^2 + R*r + r^2) Grenzfälle: Für r = 0 (Kegel) gilt zS = h / 4 ( o.k. ) Für r = R (Zylinder) gilt zS = h / 2 ( o.k.) Herleitung Ansatz für die Gleichung der Geraden g = AB: z = mx + q mit m = - h / ( R - r ) g geht durch A(R/0) , daher q = h*R / (R - r ) , somit hat g die Gleichung: z = h /(R-r) * ( R - x ) , nach x aufgelöst: x = R - (R-r)/ h * z .................................................................(I) Für die z-Koordinate zS des Schwerpunktes des homogenen Kegelstumpfkörpers gilt: V*zS = Dreifachintegral [z * dx * dy * dz)] , wobei V das Volumen des Stumpfes darstellt: V = Pi * h / 3* ( R ^ 2 + R* r + r ^ 2 ). Wegen der Rotationssymmetrie können wir das Integral als ein einfaches Integral ansetzen: V*zS = int[ z * Pi * x ^ 2 * dz] ,untere Grenze z = null, obere Grenze z = h. Wir setzen x aus der Geradengleichung (I) ein: V*zS = Pi*int [ z * {R^2 -2*R*(R-r)/h * z + (R-r)^2/h^2 * z ^ 2}*dz] in den genannten Grenzen. Die Auswertung des Integrals (keine besonderen Probleme) gibt: V* zS = Pi*h^2 / 12 * {6 R^2 - 8 R ( R - r ) +3 (R - r )^2} = ..........= Pi * h^2 / 12 * {R^2 + 2 R r + 3 R^2}, woraus das oben angegebene Resultat entspringt. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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